學過高等數學的朋友應該都知道，lnx的麥克勞林公式是不存在的。因此很多初學者就想當然地以為lnx的泰勒公式也是不存在的，或者說是不可求的。然而，實際情況并不是這樣的。麥克勞林公式隻是泰勒公式在x0=0的特殊形式。lnx的麥克勞林公式不存在，但lnx的泰勒公式卻未必不存在，也未必不可求。

首先解釋一下lnx的麥克勞林公式為什麼不存在。那是因為麥克勞林公式要用到函數在x=0函數值和各階導數值，而lnx在x=0沒有意義，自然就不存在x=0的函數值和各階導數值，因此lnx在x0=0的麥克勞林公式不存在。看到這裡，大家應該知道為什麼lnx的泰勒公式未必不存在了吧。因為lnx在x>0的任意點都有定義，且存在任意階導數，所以lnx在x>0的任意點的泰勒公式，都是存在的。那麼它是不是可求的呢？看完下面這道題，您就會明白了。題目是這樣的：

求lnx在x=2處的泰勒公式.

分析：由于許多初學者（包括不久前的老黃）都以為lnx的泰勒公式不存在，或者不可求，所以解決這個問題，就會刻意避開lnx的泰勒公式。就連教材，也是利用ln(1 x)的泰勒展開式，來解決這個問題的。下面直接分享教材的解法，再來分析教材為什麼要這樣解。

首先，提供ln(1 x)的麥克勞林公式，以做參考，這個公式是要求記住的：

ln(1 x)=x-x^2/2 x^3/3-… (-1)^(n-1)x^n/n o(x^n).

解1：lnx=ln(2 (x-2))=ln(2(1 (x-2)/2)=ln2 ln(1 (x-2)/2), 【這一步看起來是相當巧妙的】

記u=(x-2)/2,則ln(1 u)=u-u^2/2 u^3/3-… (-1)^(n-1)u^n/n o(u^n). 【這是換元法的運用，目的就是為了使解題過程更加簡便，然而它真的簡便嗎？】

ln(1 (x-2)/2)=(x-2)/2-((x-2)/2)^2/2 ((x-2)/2)^3/3-… (-1)^(n-1)((x-2)/2)^n/n o(((x-2)/2)^n)

=(x-2)/2-(x-2)^2/8 (x-2)^3/24-… (-1)^(n-1)(x-2)^n/(n*2^n) o((x-2)^n)

【注意高階無窮小o(((x-2)/2)^n)和高階無窮小o((x-2)^n)在意義上是等價，因為無窮小量的系數1/2^n并不影響它的階】

所以，lnx=ln2 (x-2)/2-(x-2)^2/8 (x-2)^3/24-… (-1)^(n-1)(x-2)^n/(n*2^n) o((x-2)^n).

繼續分析：顯然，教材并不是想告訴大家，lnx的泰勒公式是不可求的，而是想告訴大家，利用換元法，結合ln(1 x)的麥克勞林公式，解決這個問題更加簡便。但是初學者哪裡懂得這麼多，看到教材也刻意避開lnx的泰勒公式，就會更堅定地以為，lnx的泰勒公式不存在或不可求了。下面老黃就演示第二種解法，直接求lnx的泰勒公式，來比較一下，看看教材的方法是否真的比較簡便。

首先，提供泰勒公式的一般形式，以做參考，這個公式更是要牢記的：

f(x)=f(x0) f'(x0)(x-x0)/1! f"(x0)(x-x0)^2/2! … f^(n)(x0)(x-x0)^n/n! o((x-x0)^n).

解2：記f(x)=lnx, 則f^(n)(x)=(-1)^(n-1)(n-1)!/x^n， f^(n)(2)=(-1)^(n-1)(n-1)!/2^n,

∴lnx=ln2 (0!(x-2))/(1!*2)-(1!(x-2)^2)/(2!*2^2) (2!(x-2)^3)/(3!*2^3)- … (-1)^(n-1)(n-1)!(x-2)^n/(n!*2^n) o((x-2)^n)=ln2 (x-2)/2-(x-2)^2/8 (x-2)^3/24-… (-1)^(n-1)(x-2)^n/(n*2^n) o((x-2)^n).

怎麼樣？是不是直接求lnx在x=2的泰勒展開式，要比教材的方法更簡單呢？學數學，一定要懂得融會貫通，千萬不能被表象迷惑了，隻有透過表象看本質，才能把數學學好。關于泰勒公式和麥克勞林公式，還有很多容易被忽略的知識，一篇文章，無法盡述。如果您覺得老黃講得有道理，不妨關注一下，老黃會在今後的作品中，繼續為大家分析。

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