圖／Alexfrlepr@Pixabay

根據世界衛生組織的統計，全世界的新生兒中，男嬰與嬰兒總數的比值為0.515。如果我們單看特定區域或特定國家的話，數值的偏差會更大。墨西哥男女比的比值非常低，而美國與加拿大則高于平均值。然而，在這個人口總數超過七十億的世界，男嬰與女嬰占比的數值應該要相當接近才是。原因很簡單，人類精子帶X染色體的數量與帶Y染色體的數量相當，因此就概念上來說，它們的機會均等。這是一個公正的抛擲硬币遊戲。

抛擲一枚公正的硬币七十億次後，我們會期望出現正面的機會是一半，但我們是否應當期待看到一百萬個連續的正面出現呢？我們可從一台專門抛擲硬币的機器得知，盡管硬币的運行軌迹會受到随機幹擾，硬币百分之百都出現正面結果的可能性也的确存在。

抛擲一枚公正的硬币，出現正面的機率是二分之一。從數學理論上來看，我們知道，随着抛擲次數的增加，“出現正面”與“出現反面”這兩個事件的比值會愈來愈接近1。以此延伸，可能會誤導人相信上一句的意思表示：如果出現一連串的正面，那麼之後會出現一連串的反面結果來平衡此現象。

我們很容易陷進這樣的謬誤中：如果其中一面很久沒有出現了，那麼它在每一輪抛擲中的出現機會就會增加。盡管我們知道理論上來說，每一次抛擲一枚硬币，出現兩種結果的機會都完全一樣──硬币出現正面的機會就跟出現反面的機會相同。人們時常會搞混結果與頻率之間的差别。

“出現一連串的正面結果”是可能發生的。我就曾看過出現非常多次的連續正面結果。直覺上我們會覺得這事件很離奇，但請這麼思考：假設你抛擲一枚硬币十次，出現七次正面的結果，那麼正面與反面的比例就是七比三。現在，用普遍受到認可的直覺思維來想的話，接續的十次抛擲，出現反面的次數應該要多于六次，以抗衡先前抛擲的結果──超過期望數字的正面次數。但硬币沒有記憶能力，每一次的抛擲都與前一次無關，隻有看着抛擲結果的人會記得先前的紀錄。沒有任何方式可以證明硬币不可能在接下來的五百次抛擲都出現正面，如果可以的話，我們必定會很驚訝。

硬币正面（ 1）與反面（-1）抛擲的累積結果，橫軸為總抛擲次數。可以發現與預期不同，硬币似乎會出現長

上圖呈現由電腦産生的重複抛擲硬币五百次後的累積結果（每次出現正面時以 1表示，反面以-1表示）。水平線代表0。正面與反面交替領先，“這是一場不分軒轾的競賽”，你可能會這麼想。一般的直覺判斷會覺得擲銅闆的圖應該會以零的基準線為軸，上上下下跳動。然而，最常出現的是這類傾向長時間偏向某一端（上或下）的圖。

source：frankieleon＠Flickr

理論上的絕對随機與真實、實體世界中的絕對随機并不相同。盡管對于觀察這過程的一般人來說，那些一開始在壓克力球體中旋轉、決定樂透開獎号碼的乒乓球，确實給出了無法事先預測的數字，但落進洞口的乒乓球并不是随機産生的。在美式足球開場前，決定由誰開球的抛擲硬币行為也與“随機”差之千裡。事實上，擲硬币的結果隻是很單純的物理問題；打造一台抛擲硬币的機器，抛擲任意次數（一千或一百萬次），每一次都出現正面結果──這是辦得到的。

近來設計用以分析抛擲硬币的實驗顯示，硬币（甚至是公正的硬币也一樣）抛擲的結果會傾向其抛擲前的那一面，而這結果取決于硬币的面以及角動量向量之間的角度。也就是說，硬币在空中的行進軌迹是由它一開始的狀态所決定。戴康尼斯（PersiDiaconis）、霍姆斯（SusanHolmes）以及蒙哥馬利（RichardMontgomery）打造了一台抛硬币的機器，透過彈簧裝置的棘輪來抛射硬币。用這台機器做抛硬币實驗，一開始正面朝上的硬币，抛擲的結果總是（百分之百）會正面朝上。這麼一來，擲硬币的結果便是固定的，而非随機。隻是人們抛擲硬币的手以及周遭環境中形形色色的變數造成的多樣性，讓結果看起來是随機的。

然而，在硬币于空氣中宛如一個緩慢旋轉的陀螺儀進動時，我們可能會被這假象矇騙，以為它實際上是抛擲出去的。硬币的飛行方向受到其角動量向量決定，可能使它的抛擲結果永遠是正面朝上。所以，一枚一開始就正面朝上的硬币，如果遵循它既定的軌迹，正面與反面的旋轉固定，抛擲結果可能永遠都是正面朝上。

硬币在空中旋轉的狀态，常讓人誤以為落下的結果會是“随機”。但實際上，結果在你抛出去的那一刻，早已被物

如果談的是會受到千裡外輕微的地表顫動、或是太平洋上造成騷動的多事蝴蝶而影響的真實抛硬币事件，情況就不一樣了。但“不一樣”不意味着合理，也不可測。硬币掉落到地面時，很可能是随機的，但我們人類對于随機性的認知，通常會與我們對于随機結果的預測不一緻。因為硬币的每一次抛擲都與先前的結果無關，所以出現連續一百次的正面抛擲結果時，我們理應不該感到驚訝，但我們卻往往如此。

上圖的現象相當詭異。抛擲結果一直跟預期的差不多，直到第四十五次抛擲，反面結果獨領風騷，在接下來的約莫一百零五次抛擲中變得“熱門”！然後，進入了一段合理期，頻頻出現正面結果，使得累積的值接近0。接着在約莫第二百八十六次抛擲時，再度進到出現大量反面結果的階段。這并不是要說明現實狀況往往違反我們的直覺。

在經過規模大上許多、無法實際操作的投擲試驗後，正面與反面出現次數的實際比值必然會愈來愈接近1，隻是這情況沒有在我們的小規模試驗中出現罷了。抛擲五百次之後，反面出現的次數隻比正面多十二次，這似乎是比較接近的數字了，但是連續的反面與正面結果通常可能造成累積結果出現很大的差異。讓我們以下一次的試驗為例。

硬币正反面的累積頻率與抛擲次數的函數關系。

局面完全倒向正面的結果。累積結果顯示，正面幾乎在整個試驗期間獨占鳌頭，給人留下“怎麼抛擲都不會出現反面”的印象。

由電腦運算出一百萬次抛擲硬币的結果。

上表是拆解抛擲硬币一百萬次的結果，這結果是由電腦模拟一百萬次硬币抛擲的運算而得。比值k⁄N中的k代表成功的次數，N則代表試驗的次數，這個比值稱為“觀測成功比值”（observedsuccessratio）。而最右邊欄列出的是“觀測成功比值”與“數學預估的成功比值──1/2”之間差異的絕對值。

弱大數法則并沒有排除任何不太可能發生的事件常常出現的可能性，事實上，就算觀測成功比值與數學算出的預測成功比很接近，不保證接下來的試驗也會保持這麼接近的狀态。更為周延一點的數學結果也說明，盡管成功比值很可能朝着數學預測的數收斂，實際的成功值會随着事件數的增加而發散。這與我們的直覺相違背，但事實卻真的是這樣。

在任何成功機率為p的事件中套用弱大數法則，我們可以得知│k/N–p│<ε的機率會随着N增大而愈來愈接近1。假設ε＝0.0001（任意選定的），抛擲硬币的p=1/2，請問│k/N–1/2│小于0.0001的可能性會有多大？請注意（見上表），│k/N–1/2│在N的值很小的時候是跳動而非遞進的，而N的值變大時也一樣。從100,000到200,000，│k/N–1/2│的值是增加的，即便是從800,000到900,000也是增加的，但在抛擲次數（N）為一百萬次時，│k/N–1/2│的值反而減少。我們誤以為正面和反面的出現次數應該會逐漸接近0，但這試驗顯示，增加試驗的次數并不會使波動性變得更小。如我們所見，随着抛擲次數的增加，波動性也變大了。

由前一張圖表衍伸的細節。　

5,000次的抛擲中，正面出現2,561次，反面出現2,439次，兩者之間的差距是122次。百分之2.4的誤差，看起來不算太差勁。但在不知道這些正面的分配的情況下，是可能連續出現122次正面的抛擲結果的。從這觀點來思考，想像在67,500次抛擲中，也可能連續擲出758次反面，或者在82,500次抛擲中，連續擲出694次正面。也就是說，沒有哪個數學法則能夠在N很大的情況下，排除連續出現相當多次正面的機率。

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