同學們，我們先來跟老師欣賞一下數學中最優美的式子吧？

是什麼魔力讓以上幾個似乎毫不相幹的數學中最特殊的數字能如此優美的寫在同一個式子呢？

是歐拉，是數學。

0和1——老師就不用介紹啦，

e是自然常數(natural constant)，在數學中具有舉足輕重的地位，定義為

e是一個無理數，意味着其小數點後的數字是随機的不存在什麼規律，關于e同學們可以參看老師之前說的文章(我和小e有個“約會”),其大概大小為2.71828，而π大家應該也都很熟悉，同樣也是一位無理數，大概為3.14159。i是我們在高數中會學到的，是虛數單位，定義為

同學們了解完上述的數值後，下面隆重登場今天的“重頭戲”：給大家介紹兩種巧妙的證明方法，不需要借助泰勒展開(Taylor series)，會一點微積分基礎的同學都可以明白的。

我們先通過一個微分方程(differential equation)來進一步推導出第一種證明方法：

1、微分方程定義：

微分方程是把一個是指含有未知函數及其導數的關系式，物理中的各種公式幾乎都是微分方程。

2、推導過程：

首先，我們可以用科學史上最有效的方法來解這個不會的東西，那就是：

常見的多項式、三角函數、指數對數函數、中二階導數等于負的函數，insight！

餘弦函數，y=cosx, y'=-sinx, y''=-cosx

我們也可以驗證：

同樣也可以符合，

因為微分方程的虛數解隻是實數解的另一種表達方法，所以我們可以得到:

等式兩邊我們同時求微分，可以得到:

同時乘上-i

兩式相加，我們可以得到:

那當x=π的時候，我們就可以得到:

我們假設

那麼對y微分可以得到，

即

等式兩邊同時積分，

我們可以得到

等式兩邊同時取e^x

我們可以得到

即

基思•德夫林(Keith Devlin)曾說過:“就像莎士比亞的十四行詩抓住了愛的本質，或者一幅畫展現了人類形态的美，遠遠超出了膚淺的東西，歐拉方程深入到了存在的最深處"。而哈佛大學(Harvard University)教授本傑明·皮爾斯(Benjamin Peirce)在一次演講中證明了歐拉恒等式後表示"這個恒等式是矛盾的；我們不能理解它，我們不知道它意味着什麼，但我們已經證明了它，因此我們知道它一定是真理”。

那麼，同學們你們覺得它是美的嗎？或許大家有比上述還要好的證明方法，不妨可以和老師一起來探讨研究一下~~

說明：圖片來源于網絡，如有雷同，請見諒！

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