兩個事件一起（或依次）發生的概率。

例如：擲硬币的概率是 ¹⁄₂ = 50%，翻轉 2 個公平硬币的概率是 ¹⁄₂ × ¹⁄₂ = ¹⁄₄ = 25%（這也可以理解為 50% 的 50%）

P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)

對于 2 個硬币，樣本空間将是 4 {HH,HT,TH,TT}，如果第一個硬币是 H，那麼剩餘的結果是 2 {HT,HH}。 這意味着第一個事件可能會影響第二個事件。

例如：從 10 個不同顔色的球中選出 1 個綠球的概率是 ¹⁄₁₀， 10個球中選2個綠球的概率（2個綠、2個藍、2個紅、4個黃）²⁄₁₀ × ¹⁄₉（這個排列組合會更清楚）

簡而言之。 當第一個事件的發生影響第二個事件的發生時，它們是相關事件。

P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B|A)

這裡，P(B|A) 被讀作 在 A 之後發生 B 的概率。這是當 A 事件已經發生時發生 B 事件的概率。 這稱為條件概率。

例：城市中的一個三角形區域被化學工業污染。 有2%的孩子住在這個三角區。 其中 14% 的檢測過量有毒金屬呈陽性，而不在三角區居住的城市兒童的陽性檢測率僅為1%。

考慮： T 表示居住在三角形區域的人，并且P 表示檢測呈陽性的人。

當它說區域中 14% 的孩子測試為陽性時，這意味着：如果從三角形中随機抽取一個孩子，它将有 14% 的機會測試為陽性。 這是 P(P∣T)

P(P∩T) 的解釋是自整個人口中随機選擇後即在三角形中并且測試為陽性的概率。

P(A∩B) 是 A 和 B 都發生的概率（沒有任何附加信息。）

P(A|B) 是如果我們知道 B 已經發生，A發生的概率。

讓我們通過一個例子來理解它。一個班有60名學生。 33個喜歡藍色，23個喜歡紅色，20個學生喜歡這兩種顔色，4個學生喜歡橙色。

1、選出一個同時喜歡紅和藍顔色的學生的概率是多少？

這非常簡單：P(B ∩ R) = ²⁰⁄₆₀

2、從喜歡紅色的學生中選出一個喜歡藍色的學生的概率是多少？

我們将檢查從特定學生集中選擇具有特定選擇的學生的概率。

⇒ 喜歡紅色的學生有 23 人。其中有 20 個喜歡這兩種顔色。

P(B | R) =²⁰⁄₂₃

通過維恩圖和上面的例子，我們可以說在這兩種情況下，事件的結果都沒有改變，但樣本空間正在減少。因此，

(∣) ≥(∩)

例子1：

假設擲兩個骰子，第一個得到6第二個得到4的概率是多少? 假設擲兩個骰子，如果兩個骰子的數字之和是10，第二個骰子顯示4的概率是多少?

在第一種情況下，沒有給出定義樣本空間的條件。所以我們從兩個骰子中取可能的結果，也就是36。

P(a∩b) = 2/36

在第二種情況下，對于樣本空間有一個條件，即骰子上的兩個數的樣本空間總和為10。樣本空間的總元素隻有3 {4 6,5 5,6 4}

P(a | b) = 1/3

例子2：

一個人正在過馬路，我們想計算他被路過的汽車撞到的概率，這取決于交通燈的顔色。

設H代表這個人是否被撞，C代表紅綠燈的顔色。

H ={撞,不撞}

C ={紅、黃、綠}。

在這種情況下，你被撞到的條件概率是概率P(H=撞到|C=紅色)，即假設燈是紅色的，你被車撞到的概率有多大。

即使不是紅燈，也有可能有人被撞到，但這裡我們隻考慮紅燈時發生的車禍。

而聯合概率則是P(H=撞到，C=紅色)，即紅燈亮時你被車撞到的概率。

假設一個人橫穿馬路 3 次而沒有發生事故。但第7次被撞了。 如果使用聯合概率，我們還想知道當他被撞時燈是紅色的概率是多少。

現在如果我們說，他在紅燈時過馬路10次，被車撞了7次。 在這種情況下，樣本空間的條件是已經給定的。

例子3：

研究人員調查了100名學生，詢問他們最想擁有哪種超能力。這個雙表格顯示了參與調查的學生樣本的數據:

我們來找出不同的概率;

1、找出學生選擇飛行作為他們超能力的概率。

沒有給出樣本空間的條件。我們取所有學生(100)來計算概率。

P(fly) = 38/100 = 0.38

2、求出該學生是男性的概率。

同樣，沒有給出樣本空間的條件。我們取所有學生(100)來計算概率。

P(male)= 48/100 = 0.48

3、求選擇飛行作為超能力時，這個學生是男性的概率。

這很有趣，這個問題的樣本空間是一群想要飛行的學生。

n (S) = 38

38名學生中有26名是男性。所以

P(male∣fly) = 26/38 = 0.68

或者用條件概率公式

P(male∩fly) =選擇飛行男生/總人數= 26/100

P(male∣fly)= P(male∩fly)/ P(fly)= 26/38 = 0.68

4、假設該學生是男性，求出該學生選擇飛行的概率。

這和上一題差不多。這個問題的樣本空間為n(S) = 48。在48名學生中，有26人選擇飛行。所以

P(male∣fly) = 26/48 =0.68

5、I代表一個學生選擇隐身作為超能力的事件，F代表一個學生是女性的事件。

解釋P(I∣F)≈0.62的含義;

a、大約62%的女性選擇隐身作為她們的超能力。

b、在選擇隐身作為自己超能力的人中，大約有62%是女性。

解釋如下：

n(S) =所有女性，I∣F可以被解讀為在所有女性中選擇隐身的人。

總的來說，我們可以理解為大約62%的女性選擇隐身作為她們的超能力。所以表述a是正确的。

例子4：

下表是将各國按地區和平均創業成本(占某一年人均國民總收入(GNI)的百分比)進行了分類。

考慮到如果該國的創業成本歸類為高，那麼找出該國位于南亞地區的概率。

這個問題屬于條件概率，因為給定了選擇樣本空間的條件：創業成本高的國家 n(S) = 87（樣本空間）， 以上樣本空間中的南亞地區國家，即創業成本高的國家：7

所以，從創業成本高的國家中選擇南亞地區國家的概率= 7/87

如果我們用條件概率的公式

我們可以先計算 P(A ∩ B)，即從所有南亞地區且創業成本高的國家中選擇一個國家的概率。

這樣的國家有7個。 由于沒有定義選擇樣本空間的條件，我們将采用全部空間，即 n(S) = 188。

P(A ∩ B) = 7/188

現在，我們需要計算一個國家創業成本高的概率。 這很簡單

P(A) = 87/188

使用公式 P(B|A) = 7/87

希望本文可以解釋聯合概率和條件概率之間區别和聯系，感謝閱讀。

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