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初中幾何中最複雜的定理，垂徑定理及其推論算一個。

垂徑定理的内容是：垂直于弦的直徑平分弦且平分這條弦所對的兩條弧。這個定理為什麼能成為最複雜的定理呢？那當然是對其推論的研究。

我們通過課堂學習已經知道，這個定理的内容可以拆分成以下五個知識點：（1）平分弦所對的優弧；（2）平分弦所對的劣弧(前兩條合起來就是:平分弦所對的兩條弧)；（3）平分弦(不是直徑)；（4）垂直于弦；（5）過圓心。

如果有一條直線，它在上述5個條件中，隻要滿足其中任意兩個條件，就可以推出其他三個結論。在初中數學學習中，我們稱為“知二推三”。這樣，原來的一個定理，實際上已經變成了10個定理。這可以說是初中幾何學習中，我們所見到的定理中，它當之無愧地成為第一個最複雜的幾何定理。所以對這個定理，各地出題的考官紛紛發招，選擇其進行命題，實現對學生掌握本節知識情況進行考查的目的。

當然，本節内容與其他單元的内容一樣，基本上很少單獨出來在考題中，多數會與其他知識進行融合，比如圓周角定理、直角三角形、全等三角形、相似三角形、三角函數等。所以對本單元的複習，也要善于放到大環境中進行研究學習。

現在，請大家走進圓的世界吧！

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一、選擇題

2. 考點垂徑定理．分析根據垂徑定理知圓心O到弦CD的距離為OE；由圓周角定理知∠COB=2∠CDB=60°，已知半徑OC的長，即可在Rt△OCE中求OE的長度．

3. 考點垂徑定理；圓周角定理；解直角三角形．分析首先過點O作OD⊥BC于D，由垂徑定理可得BC=2BD，又由圓周角定理，可求得∠BOC的度數，然後根據等腰三角形的性質，求得∠OBC的度數，利用餘弦函數，即可求得答案．

4. 考點：垂徑定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析作OH⊥CD于H，連結OC，如圖，根據垂徑定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可計算出半徑OA=4，則OP=OA﹣AP=2，接着在Rt△OPH中根據含30度的直角三角形的性質計算出OH= OP=1，然後在Rt△OHC中利用勾股定理計算出CH= ，所以CD=2CH=2 ．

點評本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性質．

5. 分析設⊙O的半徑為r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，則有r2=52 （r﹣1）2，解方程即可；

6. 點評本題考查的是垂徑定理、勾股定理以及直角三角形的性質，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．

7. 分析根據題意，可以推出AD＝BD＝20，若設半徑為r，則OD＝r﹣10，OB＝r，結合勾股定理可推出半徑r的值．點評本題主要考查垂徑定理的應用、勾股定理的應用，關鍵在于設出半徑為r後，用r表示出OD、OB的長度．

8. 分析由圓周角定理和角平分線得出∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，由等腰三角形的性質得出∠OCB＝∠OBC，得出∠DBC＝∠OCB，證出OC∥BD，選項A成立；

由平行線的性質得出AD⊥OC，選項B成立；

由垂徑定理得出AF＝FD，選項D成立；

△CEF和△BED中，沒有相等的邊，△CEF與△BED不全等，選項C不成立，即可得出答案．

點評此題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，等腰三角形的性質，平行線的性質，角平分線的性質，解本題的關鍵是熟練掌圓周角定理和垂徑定理．

9. 分析先根據垂徑定理得到CE＝DE，再根據圓周角定理得到∠BOC＝2∠A＝45°，則△OCE為等腰直角三角形，所以CE＝ OC＝3 ，從而得到CD的長．

點評本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了垂徑定理．

10. 分析先根據圓周角定理得∠ACB＝90°，則利用勾股定理計算出BC＝3，再根據垂徑定理得到CD＝AD＝ AC＝4，然後利用勾股定理計算BD的長．

點評本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了垂徑定理．

二、填空題

12. 分析： 根據垂徑定理求得BD，然後根據勾股定理求得即可．點評：題考查了垂徑定理、勾股定理，本題非常重要，學生要熟練掌握．

13. 分析：連結CP，PB的延長線交⊙C于P′，如圖，先計算出CB2 PB2=CP2，則根據勾股定理的逆定理得∠CBP=90°，再根據垂徑定理得到PB=P′B=4，接着證明四邊形ACBP為矩形，則PA=BC=3，然後在Rt△APP′中利用勾股定理計算出P′A= ，從而得到滿足條件的PA的長．

點評：本題考查了點與圓的位置關系：點的位置可以确定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以确定該點與圓的位置關系．也考查了垂徑定理和勾股定理．

14. 考點垂徑定理的應用．分析設圓的圓心為O，連接OA，OC，OC與AB交于點D，設⊙O半徑為R，在RT△AOD中利用勾股定理即可解決問題．

15. 15°或105°．考點：垂徑定理；：解直角三角形．分析根據題意畫出圖形，作出輔助線，由于AC與AB在圓心的同側還是異側不能确定，故應分兩種情況進行讨論．

點評本題考查的是垂徑定理及直角三角形的性質，解答此題時進行分類讨論，不要漏解．

16. 點評本題主要考查了圓的基本性質，垂徑定理，勾股定理，關鍵是根據勾股定理列出半徑的方程．

17. 分析連接OA、OB，OB交AF于G，如圖，利用垂徑定理得到AE=BE=3，設⊙O的半徑為r，則OE=r-1，OA=r，根據勾股定理得到32 （r-1）2=r2，解得r=5，再利用垂徑定理得到OB⊥AF，AG=FG，則AG2 OG2=52，AG2 （5-OG）2=62，然後解方程組求出AG，從而得到AF的長．

本題考查了圓周角、弧、弦的關系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那麼它們所對應的其餘各組量都分别相等．也考查了垂徑定理．

18. 分析連接BC，由圓周角定理和垂徑定理得出∠ACB＝90°，CH＝DH＝ CD＝ ，由直角三角形的性質得出AC＝2CH＝2 ，AC＝ BC＝2 ，AB＝2BC，得出BC＝2，AB＝4，求出OA＝2即可．

點評本題考查的是垂徑定理、圓周角定理、含30°角的直角三角形的性質、勾股定理等知識；熟練掌握圓周角定理和垂徑定理是解題的關鍵．

19. 分析連接OD，如圖，利用勾股定理得到CD，利用垂線段最短得到當OC⊥AB時，OC最小，根據勾股定理求出OC，代入求出即可．

點評本題考查了垂線段最短，勾股定理和垂徑定理等知識點，能求出點C的位置是解此題的關鍵．

20. 點評本題考查垂徑定理、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考常考題型．

三、應用題

21. 分析①根據∠POB=60°，OB=6，即可求得弧 的長；②根據切線的性質以及垂徑定理，據此可得AP平分∠CAB；③根據BP=BO=PO=6，可得△BOP是等邊三角形，據此即可得出PD=6 ；④判定△ACP∽△QCA，即可得到 = ，即CPCQ=CA2，據此可得CPCQ為定值．

點評本題主要考查了相似三角形的判定與性質，垂徑定理，切線的性質以及弧長公式的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線，構造三角形，解題時注意：垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧．

24. 點評此題考查了解直角三角形的應用，垂徑定理，以及圓周角定理，熟練掌握各自的性質是解本題的關鍵．

25.試題分析：（1）利用垂徑定理，将證明轉化為證OE⊥BC，通過角的關系可證明；

（2）由題意易證△BDE∽△ABE，可得BE、ED、EA的關系，再利用一元二次方程根與系數的的關系，代入可求解；

（3）根據銳角三角函數，利用直角三角形求得AO的長，然後根據勾股定理可求解。

(此題證△AMB ∽△FMA，用AB表示AF，在Rt△ABF中用勾股定理求AB亦可)

考點：垂徑定理，一元二次方程根與系數的關系，相似三角形，解直角三角形.

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