作者 | 陳省身

來源 | 《自然雜志》3卷4期

我是作為一個微分幾何學者來談談廣義相對論令人驚佩的結構，如我所理解，廣義相對論屬于物理學，它的基礎是物理實驗，幾何學的目标應該是研究空間。幾何學的研究是由傳統和持續性所指導的，其評價标準是數學的創造性、簡潔、深刻以及它們的良好的結合和協調，因此幾何學有更大的自由并可略事沉醉于想象中的課題，但是在曆史上，它也曾被突然驚醒發現這些抽象的對象一貫和現實密切相關，微分幾何和廣義相對論的關系就提供了這樣的一個事例。

廣義相對論誕生于 1915 年，微分幾何早期等同于微積分，導數和切線，積分和面積曾被看成是同樣意義的對象，微分幾何作為獨立的學科誕生于 1827 年這一年高斯發表了他的《曲面的一般研究》(Disquisi tiones circa superficies curvas),在其中，他以二次微分形式為基本工具，奠定了二維的局部微分幾何的基礎。即使高斯也沒有能預見到，這理論的四維推廣會成為引力論的基礎。

一、愛因斯坦以前的微分幾何

在 1854 年的一篇曆史性的文章《論幾何學的基礎假設》中，黎曼将高斯的工作推廣到高維，并打下了黎曼幾何的基礎。在文章中他首先引進n維流形的概念其中的點用n個實數作為坐标來描述，這是從高斯以來的巨大的一步，因為高斯的彎曲曲面是放在三維歐氏空間中的，而不是内在的，愛因斯坦對數學的看法是純正的，他難于接受黎曼這樣的概念，從 1908 年狹義相對論到 1915 年廣義相對論，花了他七年功夫，他舉出下面的原因:“為什麼還需要七年才能建立廣義相對論呢?主要原因在于不那麼容易從坐标必須有一個直接的尺度意義這一概念中解脫出來.”

黎曼幾何中的基本問題是微分形式的問題:在兩個不同坐标系與中給定兩個二次微分形式:

求存在坐标變換

将一個微分形式變到另一個的條件，這個問題于1869年由E.克裡斯多菲爾及R.利普希茨解決了，克裡斯多菲爾的解包含了以他的名字定名的記号及協變微分的概念，在此基礎上，1887~1896 年間黎契(Ricci)發展了張量分析，這在廣義相對論中起了基本的作用，黎契和他的學生T，列維-齊維他，在曆史性的研究報告《絕對微分法及其應用》(MathematischeAnnalen1901)中，對黎契計算法作了一個綜述，克裡斯多菲爾曾在蘇黎世的高等工業學校任教(後來愛因斯坦是這裡的學生)，因而對意大利的幾何學者産生了影響。注意到今年是他的 150 周年生日，這或許是使人感興趣的。

與這些發展同樣重要的是，在世紀轉折時期微分幾何學的主要活動集中于歐氏空間的幾何，這繼承着歐拉與蒙日的傳統，一個代表性的工作是達布的四卷《曲面論》，它過去是而且現在仍然是一部經典著作，要幾何學者從一個絕對的圍繞空間(通常是歐氏空間)中解放出來是困難的。

大約與克裡斯多菲爾-利普希茨解決形式問題同時，F，克萊茵在 1871 年闡述了厄爾朗根綱領。這就是把幾何學定義為研究有連續自同構群的空間，例如歐氏空間具有剛體運動群，射影空間具有射影直射變換群等，厄爾朗根綱領用群論統一了幾何，在發表後的半個世紀内成為幾何學的指導原理，在應用上，它可以從已知幾何結果中導出新的、看上去沒有關系的結果(作為群的同構的推論).索福斯·李(Sophus Lie)的線性球變換是一個有名的例子。

克萊茵的厄爾朗根綱領與狹義相對論完美地相配合，狹義相對論中的一個原理是洛倫茨群下場方程的不變性，這導緻了這位處于世紀轉折時期最有影響的德國數學家克萊茵成為狹義相對論最早的支持者之一，洛倫茨結構在相對論中起了基本的作用。它還有幾何學的解釋，當我們研究空間中球的幾何時，将球變為球的所有接觸變換構成一個15 參數的李群，而把平面變為平面的變換構成一個 10 參數的子群，後者與4 個變量的洛倫茨群同構，所導緻的幾何學就是拉蓋爾的球幾何學。

克萊茵的厄爾朗根綱領的偉大成功自然地引起了克萊茵空間或現在稱之為齊性空間中的微分幾何的研究，特别地，射影微分幾何 起始于 1878 年哈爾芬(Halphen)的學位論文，後來從 1906 年起為E.J.威耳津斯基(Wilczynski)的美國學派所發展，從1916年起為G.富比尼(Fubini)的意大利學派所發展。

二十世紀初，整體微分幾何處于搖籃時期。1909年，馬科帕迪阿亞(Mukhopadhyaya)闡述了四頂點定理，範戴克(van Dyck)在 1888 年從高斯-邦尼特 公式導出拓撲的結論:一個閉的有向曲面的高斯曲率的積分等于，這裡是曲面的歐拉示性數，希爾伯特以獨特的預見在 1901 年寫了關于常數高斯曲率的曲面一文，在文中他給出了利普曼定理即具有常數高斯曲率的閉曲面必為球的一個新證明，還證明了定理(希爾伯特定理);具負常數曲率的完備曲面不能到處正則，在希爾伯特的輔導下，佐爾(Zoll)在 1903 年發現，非球的旋轉閉曲面的所有測地線都是閉的，在動力學的推動下，龐加萊與 G.D.伯克霍夫(Birkhol)證明了在凸曲面上存在閉測地線。

微分幾何的最終目的是整體的結果，但是，局部微分幾何不能減縮到最低限度，因為每個整體結果必須有一個局部的基礎。為使整體微分幾何有一個系統的發展，必須打下它的基礎，這必須從拓撲中來。廣義相對論供給了動力。

二、廣義相對論的影響

愛因斯坦建立廣義相對論時，有效的數學工具是以黎契計算法來論述黎曼幾何學，愛因斯坦引進了有用的和式約定。對微分幾何的影響是令人震動的，黎曼幾何成為中心的課題，我們注意到斯高登(Schout en)，列維-齊維他，E.嘉當和艾森哈特(Eisenhart)等人關于黎曼幾何的權威著作幾乎都出現在1924~1926年期間。

這些發展立即得到推廣，很快就清楚，在應用黎曼幾何于相對論時，不是黎曼尺度本身而是列維-齊維他平行移動起着關鍵的作用，H.韋爾(Weyl)在他的名著《空間、時間、物質》(1918)中引進了仿射聯絡的相念，這是一個可用來定義平行移動和協變 微 分 的 結構，不必需是黎曼結構，韋爾的聯絡是對稱的或無撓率的。

E.嘉當在他的主要論文《仿射聯絡的流形及廣義相對論理論》(1923~1924)中給出仿射聯絡的權威性論述以及它向有撓率聯絡的推廣，這篇文章當時并未受到理所應得的注意，原因很簡單，因為它走在時間的前頭，因為它比仿射聯絡論更豐富，它的思想可以容易地推廣到任何李群的纖維叢的聯絡理論中去，對這理論，黎契計算法已不能适應了。文章還說明為什麼愛因斯坦的理論是牛頓理論的直接推廣，特别地，可以舉出下列貢獻:

(a)引進了結構方程,并将比安契(Bianchi)恒等式解釋為對結構方程進行外微分後所得的結果。

(b)認識到曲率是一個張量值的二次外微分形式。

用幾何的話來說，仿射聯絡是一族仿射空間(即纖維),它們由一個空間(基空間)所參數化，使得這族仿射空間是局部平凡的，并且有一個把纖維沿着基空間的曲線“展開”的法則，使線性關系得以保持，類似地，我們可以把克萊茵空間當作纖維而以作用于克萊茵空間的李群來代替完全線性群，并且也有一個對應的展開法則。嘉當稱這樣的結構為一般空間(espace gen- eralisé)，一般來說，這個聯絡是非和樂的(non-holo nomic)，即展開依賴于基空間的曲線，換句話說，沿一條閉曲線作展開時，空間并不回到原來的位置，它的變差是由聯絡的曲率來度量的，顯然，克萊茵空間本身是一個曲率恒等于0的一般空間。

在克萊茵制訂厄爾朗根綱領時，已觀察到黎曼幾何并不包括在内，因為一個一般的黎曼空間除恒等變換外并不含有其他等長變換，從嘉當的觀點來看，黎曼空間是一個以歐氏空間為纖維的空間，且具有列維一齊維他聯絡，這解決了微分幾何中的一個 基 礎的問題，因為這樣就有了一個概念，它包括了克萊茵空間、黎曼空間以及這兩種空間的推廣。

幾何結構往往以一個非直觀的形式給出，通常它或是一個由積分所定義的尺度，或是由一組微分方程所定義的子流形族，兩個最熟習的例子是黎曼尺度和由二階常微分方程所定義的道路。在這樣的空間定一個聯絡不是一個容易的問題，事實上，就是黎曼空間的列維-齊維他聯絡的定義也已相當不平凡了。如所期望，道路空間幾何學(E.嘉當,O.維布倫,T.Y.托馬斯)涉及到射影聯絡。

這些發展就是通常所說的非黎曼幾何，廣義相對論中也有平行的發展，狹義相對論用于電磁場，廣義相對論用于引力場，統一場論是兩者的結合，它的需要是清楚的，1918 年，H，韋爾以他的規範場論走出了最初重要的一步，韋爾利用一個具有相似變換群的一般空間，但被發現它在物理上是站不住的.現在了解到，他的規範群不能是相似變換群所成的非緊緻群而是緊緻的圓群，規範理論的最近發展将在第四節中讨論。

跟随韋爾之後，又提出了其他一些統一場理論，其中有卡盧紮(Kaluza)-克萊茵，愛因斯坦-梅耶(May er)(1931)和維布倫的相對論的射影理論(1933).-個共同特征是為了電磁場而引進五維空間(維布倫的理論是四維的，但是切射影空間有五維的齊次坐标)維布倫的射影理論在幾何上是簡單的，他的出發點是空間的路徑，它們是帶電粒子的軌線。

愛因斯坦本人在他的整個晚年從事研究統一場論，經常有合作者，在這方面，我想插進一點有關個人的補白，1943 年,我從中國西南部的昆明到普林斯頓研究院，那是第二次世界大戰激烈進行之時，他以非常的溫暖和同情來歡迎我，我能夠時常同他讨論各種課題，包括廣義相對論在内，是最大的幸福，我立即看到他的問題的極端困難以及數學與物理之間的區别，數學中有名的問題通常是已經提得很明确的，但在物理上，問題的提法也是問題的一部分。

愛因斯坦對最後答案有一個嚴格的标準，他不滿足于上面提到的建議，事實上也不滿足于其他許多建議，他嘗試各種可能為統一場論奠基的幾何結構。在其中有:

1.非對稱張量(見《相對論的意義》，第 5版，1955，附錄Ⅱ);

2，具有埃爾米特結構的四維複空間;

3，比黎曼空間更一般的度量空間。

一般度量空間的幾何為 K.門傑(Menger)所建立與研究，對此，愛因斯坦的朋友 K.哥德爾(Godel)給出重要貢獻，在情況1中，唯一地分解為對稱與反對稱的兩部分，如果前者非退化，則結構等價于一個具有二次外微分形式的拟黎曼結構，按照的對稱部分的符号是 或 -，這個拟黎曼結構是黎曼式的或是洛倫茨式的，情況2是密切地與複代數流形及多複變函數有關，在最近數十年中，它們是大大地發展着的數學領域。

三、正質量猜測，極小曲面，正數量曲率的流形

愛因斯坦之後的時代，廣義相對論重視了整體理論(或大尺度時空)，在這方面有很大的進展。來源是宇宙論，愛因斯坦本人在這方面很活躍，但是整體微分幾何的發展所起的影響是毫無疑義的，宇宙被視為一個四維連通的洛倫茨流形，物理與幾何比以往更纏結在一起了，不過，純粹的幾何問題通常較簡單,其中的兩個原因是，幾何學為畢達哥拉斯式的幾何或黎曼幾何，幾何學家可以用假定空間的緊緻性來理想化。

很自然地，要把一給定瞬時的數據記錄成“數據集”數據集是一個超曲面，其上到處有類時的法線(因而誘導尺度為黎曼尺度)，這樣四維流形的超曲面理論(它是古典曲面論的直接推廣)在廣義相對論中起了一定的作用，的局部的不變量由兩個二次微分形式即第一、第二基本形式給出，第二基本形式系數的迹稱為平均曲率,平均曲率為零是極大超曲面的特征。另一方面,上的誘導尺度有一個數量曲率，所有這些量均由高斯-柯達齊(Codazzi)方程聯系，由愛因斯坦場方程推出，質量密度及動量密度是第一、二基本形式系數及其協變導數的組合，因為動量密度必須不超過質量密度，我們有

在極大超曲面上，數量曲率是非負的。

如果對某些緊緻集，包含有限個連通分支，使得每個微分同胚于中一緊緻集的餘集，并且它的尺度漸近于尺度

式中r是到原點的距離，那末相應的數據集稱為漸近平坦的，在許瓦茲希爾德尺度的情況，符合于許瓦茲希爾德質量，因而稱為的總質量，正質量猜 測為:對于一個漸近平坦的數據集，每個連通分支有總質量，并且如果一個，則這個數據集是平坦的(即誘導黎曼尺度是平坦的，且第二基本形式是0)，這個猜測在廣義相對論中具有根本的重要性，由于物理上的理由，愛因斯坦假定它是正确的.

在是極大超曲面的假定下，1978年，R.舍恩(Schoen)與丘成桐最一般地證明了它，這個工作的全部經過是相對論學家與微分幾何學家接觸與合作的一個完美的例子，1973年在斯坦福大學舉行的美國數學會微分幾何暑期研究會上，R.格羅赫(Geroch)被邀請作一系列廣義相對論的報告，正質量猜測顯然是未解決的問題之一，為使它的陳述簡單化，格羅赫列出一些有引導性的猜測，其中一個如下:“在三維實數空間中，考察一個在緊緻集之外是平坦的黎曼尺度，如果數量曲率，則這尺度是平坦的.”将這緊緻集圍在一個大盒子中并把相對兩面看作恒等，J.卡茲登(Kazdan)與F.沃納(Warner)把猜測改寫如下“數量曲率的三維環面上的黎曼尺度是平 坦 的.格羅赫指出:“廣泛地覺察到，證明了這些特殊情況中的幾個，就可以推廣到整個猜測的證明.”

格羅赫的這個猜測落到微分幾何的王國中;舍恩與丘成桐首先證明了它，證明的思想是利用閉的極小曲面，事實上，從面積的第二變分的公式可見，在一個具正數量曲率的三維緊緻定向黎曼流形中，一個具有正虧格的閉極小曲面是不穩定的，就是說在微擾下它的面積還會變小，另一方面，三維環面有一個大的基本群(同構于)，并且它的第二個貝蒂數等于3。這些拓撲性質應導出在非零的閉曲面同倫類中存在一個具有最小面積的閉正則曲面，這是下述結果的推廣:在緊緻黎曼流形上，每個非零的閉曲線同倫類中有一條最短的光滑閉測地線，對于極小曲面，相應結果的證明當然更為微妙，舍恩與丘成桐接着就證明了極大超曲面的正質量猜測，稍後這個結果被推廣到高維去。

這些發展接觸到極小曲面和正數量曲率流形，這些課題對微分幾何學者來說是很親切的。

極小曲面的早期研究集中于普拉托(Plateau)問題:給定中一閉曲線，要找出它所圍成的面積最小的曲面，隻是近年來，注意力才指向研究一個給定流形(例如n維歐氏空間或n維單位球)中的閉的或完備的極小曲面。這些研究推廣了閉測地線的性質，它們在黎曼流形的幾何學與拓撲學中已處于重要的地位，閉的與完備的極小曲面，特别是正則曲面，必然是一個更豐富的甚至更有趣的對象，将極大超曲面取為數據集是很自然的。最近，J.薩克斯(Sachs)和K.烏倫貝克(Uhlenbeck)證明了:一個緊緻單連通的黎曼流形中總可浸入一個極小的二維球。

正數量曲率流形的基本問題是:怎麼樣的緊緻流形可以有一個具正數量曲率的黎曼尺度?對這個問題的興趣的提高是由于維數的緊緻流形均可以具有負數量曲率的黎曼尺度，這個結果的證明可以分成兩部分:第一，流形可以給定一個黎曼尺度,它的全數量曲率(即數量曲率的積分).第二，後者可以共形變形為具負常數的數量曲率，另一方面，由于研究調和旋量，A.利希尼羅威茲(Lichnerowicz)在1963 年證明了，如果一個緊緻旋量流形有一個數量曲率是正的黎曼尺度，則它的月虧格等于零，舍恩-丘成桐的工作證明:三維環面不能有正數量曲率的黎曼尺度，對n維環面，也已被證明有同樣的結論(M.格羅莫夫(Gromov)，B.勞森(Lawson)，R，舍恩，丘成桐).在廣義相對論的推動下，對能帶有正數量曲率黎曼尺度的所有緊緻流形，這些作者已接近于給出它們一個完全的拓撲的描述。

對于黎契曲率或截面曲率，也可提出同樣的問題。S.邁爾斯(Myers)的一個經典的定理說:--個有正黎契曲率的完備黎曼流形必須是緊緻的，因而必須有一個有限基本群，要求一黎曼流形具有正截面曲率的這一條件是更強些，預期這樣的流形是很少的。秩1的緊緻對稱空間有這個性質，但是還有其他的一些分散的情況，對有正截面曲率的緊緻黎曼流形的完全拓撲的描述看來是困難的。

四、規範場理論

1918 年，H.韋爾在他的《引力和電》一文中提出了規範場理論，其思想是運用一個二次微分形式及-個線性微分形式來定義:

但是這兩個形式還容許規範變換:

這裡是電磁勢，它的外微分是電磁場強度或法拉第(因為法拉第對電磁學的重要貢獻，他的名字就用作電磁場強度)，這是統一場論最初的嘗試，愛因斯坦反對的不定性，但對韋爾的建議的深刻與大膽表示了贊賞。

如果我們将韋爾的理論解釋為基于洛倫茨流形上的圓叢的幾何學，則當時及其後的所有反對意見都會消失，于是容許規範變換的形式可以視為在圓從上所定義的聯絡，并且保持不變，這就消除了愛因斯坦的反對意見。

規範場理論的數學基礎在于向量叢及其上的聯絡，纖維叢或纖維空間的概念具有整體的特性，由托撲而産生，最初它是尋找流形的新例子的一個嘗試(H.霍特林(Hotelling)，1925，H.塞弗特(Scifert)，1932)，纖維空間是局部的乘積空間而不是整體的乘積空間，這種區别的存在是-個奧妙的數學事實，-直到發現了對纖維從作出區别的不變量，甚至于證明了整體存在着非平凡的纖維叢時，纖維叢理論才得到發展，最早的這種不變量是H.惠特尼(Whitney)及E施蒂費爾(Stiefel)在1935年引進的示性類，纖維從的拓撲研究放棄了代數結構，但是在應用上，具有線性結構的向量叢卻更為有用，粗糙地說，流形M上的一個向量叢:是一族向量空間，它們由所參數化，使得從局部來看它是一個乘積.對應于的向量空間稱為點的纖維，例子是M的切叢以及聯系在其上的所有的張量叢，一個更平凡的叢是乘積叢,其中V是一個固定的向量空間，而(x,V)，,是在點的纖維，一個向量叢被稱為外的或複的是按照纖維是實的或複的向量空間而定，它的維數就是纖維的維數。

重要的一點是，纖維上的線性結構保持着一種店義，使完全線性群對纖維的連接起着基本的作用，這個群稱為結構群，如果纖維上已給一個内積，則一個實(或複)向量叢稱為黎曼型(或埃爾米特型)的，在這科情形，結構群化約為0(n)(或U(n)),n是纖維的維數，這個叢稱為 O(n)叢(或U(n)叢),類似地，還有SU(n）叢這個概念。

對于每點，連續且光滑地附上纖維。的一點，稱為叢E的一個截面。換言之，截面是一個連續映照s:M→E，使得是恒等映照。這個概念是向量值函數與切向量場的一個自然的推廣，為了對s進行微分，我們需要在E上有一個“聯絡”，這樣就能定義協變導數(X是M上的一個向量場)，它是E上的一個新的截面，協變微分一般是不可交換的，即對M的兩個向量場X,Y，對這個不可交換性加以“度量”，給出了聯絡的曲率，這是第二節中所描述的非和樂的幾何概念的一個解析的形态，根據 E，嘉當，将曲率當為矩陣值的二次外微分形式是重要的，它的迹是一個閉的2-形式。更一般的，它的所有 k階主子式之和是一個閉的形式，它被稱為示性形式(按照叢是實的或複的分别是龐特裡亞金(Pon trjagin)形式或陳省身形式)，根據德勒姆(de Rham)理論，次的示性形式決定一個維數為的上同調類，因而稱為示性類，示性形式依賴于聯絡，但是示性類隻依賴于叢，它們是叢上最簡單的整體不變量，向量叢的非平凡性需要通過協變微分來認識，它們的不可換性解釋了最初的整體不變量，這一定是自然界的作用，示性類的這樣的導出強調了它的局部性質，且示性形式比示性類包含更多的信息，當M是一 個有定向的緊緻流形時，最高維數的示性類(即其維數等于 M的維數)的積分給出了示性數。當它是一個整數時，被稱為一個拓撲的量子數。

人們發現，這些微分幾何概念很可能是統一場論的數學基礎。韋爾的規範理論處理圓叢或 U(1)叢，也就是一維的複埃爾米特叢。

在研究同位旋量時，楊振甯-米爾斯所用的本質上是 SU(2)叢的一個聯絡，這是非阿貝爾規範場理論的第一個實例，從聯絡可以定義“作用量”，四維歐氏空間上的SU(2)叢中使作用量取最小值的聯絡被稱為瞬子，它的曲率有一個簡單的表達式，稱為自對偶關系，從而瞬子是楊-米爾斯方程的自對 偶 解，當空間緊緻化為四維球時，SU(2)叢除一個同松外由一個拓撲量子數k(k是整數)決定，阿蒂亞、希欽和辛格證明，對給定的k>0，上曲率自對偶的聯絡的集合(稱為模或參數空間)是一光滑流形，其維數為.用物理術語來說，這就是拓撲量子數 k>0的瞬子空間的維數。

阿蒂亞和瓦德(Ward)注意到，自對偶的楊-米爾斯場可以很好地納入彭羅斯(Penrose)的“撓量”方案他們把求所有自對偶解的問題轉化為代數 幾 何 的問題:在複三維射影空間中全純向量叢的分類問題，這個問題已由K.巴思(Barth),G.霍羅克斯(Horrocks)等人非常接近地研究過了，用了他們的結果，可以最終地找出所有自對偶數，事實上，回到了物理，這些數學結果可以翻譯成物理學家感到滿意的顯式公式。

瞬子通過以下的結果表明它和愛因斯坦的關系，群 SO(4)局部同構于 SU(2)xSU(2)，所以四維黎曼流形 M上的黎曼度量通過投影給出一個SU(2)叢的聯絡，M為愛因斯坦流形的充要條件是這些聯絡為自對偶或反自對偶(依投影的方法而區分)。

包括弱和強相互作用在内的一個令人滿意的統一場論是否能通過非可換規範場論作出?這還有待研究我們隻須指出:叢和聯絡這兩個幾何概念是非常簡潔的，我相信愛因斯坦會喜歡它們。

五、結束語

這個叙述還有許多明顯的不完備之處.在彭羅斯和霍金(Hawking)的工作中集中地體現出來的關于奇點的重要研究這裡并未涉及，這是一個最顯然的不足之處。

最後，作為非本門的學者，我想表示我的希望:廣義相對論将不局限于引力場。一個總體的統一場論，不論它将會是什麼樣的理論，一定會很接近于愛因斯坦的宏偉計劃，現在已經有了更多的數學概念和工具可以利用。

(胡和生譯)

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