網友@金石立方112358 原創了一道關于無窮乘積的等式,很優美,涉及到伽瑪函數和圓周率π。
我對無窮乘積研究得很少,查了些資料,勉勉強強證明了一下。(字有點醜,見笑了)
證明如有問題,歡迎各位大佬在評論區指出
有些步驟我說明一下,比如兩個無窮乘積相除,可以先把每一項各自相除,然後再總的相乘嗎?即
等号當然不一定成立。
我們知道,對于無窮級數求和,若級數絕對收斂,則可以交換求和順序。假如級數不是交錯級數,符号始終為正或者為負,那麼級數收斂就等價于級數絕對收斂。根據以上想法,極限大于零的正項無窮乘積取對數以後就是無窮級數,假如每一項符号相同,那麼就一定是絕對收斂的。兩個絕對收斂的無窮級數相減時,可以逐項相減再求和。這樣對應到原來的無窮乘積,就可以逐項相除後再求乘積。
這種條件下,上面的等式就是成立的。最後一步極限為零是因為分子上的乘積總小于1。
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