tft每日頭條

 > 生活

 > 三個連續自然數乘積的推導

三個連續自然數乘積的推導

生活 更新时间:2024-11-25 12:45:57

網友@金石立方112358 原創了一道關于無窮乘積的等式,很優美,涉及到伽瑪函數和圓周率π。

三個連續自然數乘積的推導(一道網友原創的無窮乘積等式)1

我對無窮乘積研究得很少,查了些資料,勉勉強強證明了一下。(字有點醜,見笑了)

證明如有問題,歡迎各位大佬在評論區指出

三個連續自然數乘積的推導(一道網友原創的無窮乘積等式)2

三個連續自然數乘積的推導(一道網友原創的無窮乘積等式)3

有些步驟我說明一下,比如兩個無窮乘積相除,可以先把每一項各自相除,然後再總的相乘嗎?即

三個連續自然數乘積的推導(一道網友原創的無窮乘積等式)4

等号當然不一定成立。


我們知道,對于無窮級數求和,若級數絕對收斂,則可以交換求和順序。假如級數不是交錯級數,符号始終為正或者為負,那麼級數收斂就等價于級數絕對收斂。根據以上想法,極限大于零的正項無窮乘積取對數以後就是無窮級數,假如每一項符号相同,那麼就一定是絕對收斂的。兩個絕對收斂的無窮級數相減時,可以逐項相減再求和。這樣對應到原來的無窮乘積,就可以逐項相除後再求乘積。


這種條件下,上面的等式就是成立的。最後一步極限為零是因為分子上的乘積總小于1。

,

更多精彩资讯请关注tft每日頭條,我们将持续为您更新最新资讯!

查看全部

相关生活资讯推荐

热门生活资讯推荐

网友关注

Copyright 2023-2024 - www.tftnews.com All Rights Reserved