函數的最值定理

1、如果對于任意的X∈D，都有f(x)≤M，且存在Xo∈D，使f(Xo)=M，則稱M為f(x)在D上的最大值;

如果對于任意的X∈D，都有f(X)≥M，且存在Xo∈D，使f(Xo)=M，則稱M為f(×)在D上的最小值。

2、閉區間上的函數f(x)必定存在最大值和最小值。若函數在D上單調，則最值在端點處取得;若不單調，則一定不能用端點的函數值代替。用端點函數值代替最值是學生常常出現的高頻錯誤，糾錯方法最簡單，就是利用函數的單調性。

3、函數的最值與值域是不一樣的。函數在閉區間上必定存在最大值和最小值。函數的值域為閉區間[a，b]，則a為最小值，b為最大值;函數的值域開區間(a，b)，a不是最小值，b也不是最大值，此時函數沒有最大值也沒有最小值。函數的值域為[a，b)，函數有最小值a，沒有最大值;函數的值域為(a，b]，函數有最大值b沒有最小值。

題型一：用單調性求具體函數的最值

例：求函數f(×)=x/(X一1)在區間[2，5]上的最值。

習慣性錯誤：最小值f(2)=2，最大值f(5)=5/4。顯然不對。錯點是用端點函數值代替最值。

糾錯：

f(X)=(X一1 1)/(X一1)=1 1/(X一1)在[2，5]上單調遞減，所以f(x)的最大值為f(2)=2，最小值為f(5)=5/4。

題型二：對勾函數的最值

對勾函數是一個極其重要的函數模型，其圖象和單調性必須要熟練掌握。

例.已知a>0,函數f(x)=x a/X(x>0).

(1)用定義探求該函數的單調區間,指出其在相應區間上的單調性；

(2)若已知該函數的最小值是a-8,求實數a的值

[思路探尋]先用定義法求出f(x)的單調區間,研究其單調性，利用第(1)問的結論求出最值,最後求實數a。

[解析](1)設x1、x2是任意兩個正數,且X1<X2,則

f(X1)-f(X2)=……=

(x1一X2)(X1X2一a)/X1X2

(此時X1X2一a無法确定正負号，要讨論)

當0<X1<X2≤√a時,0<X1X2<a,

又x1ーx2<0,所以f(x1)ーf(x2)>0,即f(X1)>f(X2),所以函數f(x)在(0,√a)上單調遞減；

而當√a≤X1<x2時,x1x2>a,

又x1ーx2<0,所以f(X1)一f(X2)<0,即f(X1)<f(X2),故函數f(x)在[a, ∞)上單調遞增。

(2)由(1)知該函數的最小值是f(√a)=2√a,依題意,a-8=2√a,

所以(√a)²-2√a-8=0,

解得√a=4(√a=-2舍去)

所以所求的實數a=16。

[同步跟蹤]

求函數y=X²一1 4/(X²一1)(0≤x<1)的最值。

[思路探尋]令X²一1=t(一1≤t<O)，利用函數y=t 4/t的単調性求解。同學們習慣用“基本不等式得到y=t 4/t≥4，錯因“一正二定三相等”第一個“正數條件就不滿足。

[解析]令1ーX²=t，∵0≤X<1，

∴一1≤t<0，y=t 4/t，

∵y=t 4/t在[一1，0)上單調遞減，(用單調性定義證明，高二可用導數求得)。

∴y=t 4/t在[一1，0)上單調遞減，所以當t=一1即X=0時函數取最大值一5，無最小值。

題型三：利用單調性求抽象函數的最值

已知定義在(0， ∞)上的函數f(×)滿足f(X1/X2)=f(X1)一f(X2)，且當X>1時，f(×)<0。

（1）求f(1)的值;

（2）證明：f(x)為單調遞減函數;

（3）若f(3)=一1，求f(X)在[2，9]上的最小值。

解：（1）令X2=X1>0，f(1)=f(x1)一f(X1)=0;

（2）設X1，X2∈(0， ∞)，且x1<X2，則X2/X1>1，f(X2/X1)<0，所以f(Ⅹ2)一f(x1)<0即f(x2)<f(X1)，故f(X)為單調遞減函數。

（3）、由（2），f(x)在[2，9]上單調遞減，最小值為f(9)。因f(3)=一1，又f(9/3)=f(9)一f(3)，∴f(9)=一2，所以f(X)在[2，9]上的最小值為一2。

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