随着年齡的增加，人們會逐漸對世界失去興趣，失去好奇心。喬治·康托（爾）極力避免這樣的現象出現在他的身上。他很少對周圍的事物失去興趣（尤其是數學）。有一天，當他陷入沉思時，他意識到任何線段上的點都能匹配三維空間中的所有點（形成一一對應關系）。意識到這一點後，他立即給他的朋友戴德金寫了一封信，說：
I see it, but I don’t believe it.
康托是現代數學之父，我認為這不應該存在争議，因為他建立了現代數學的基礎——集合論。
康托一生都在馬丁路德·哈勒維滕貝格大學工作。今天，那所大學裡還矗立着一座方形的紀念碑，以紀念他。在紀念碑的一側，我們看到了康托雕像。右上角寫着“格奧爾格·康托，數學家，集合論的創始人”；在左邊，我們注意到康托著名的公式和他著名的對角線論證法。最後，我們在左下角看到康托的名言：
數學的本質在于它的自由。
康托幾乎一生都在思考和探索。
他發現的新事物越多，對數學的興趣就越濃。 有一天，當康托在他的房間裡閑逛時，他的同事愛德華·海涅問了康托一個問題，這個問題徹底改變了當時已知的數學基礎：
給定集合E [0,2 π]，三角級數在E外的收斂是否意味着所有系數都為0？
在深入思考這個問題時，康托有了一個驚人的發現：有理數不能與無理數一一對應。這意味着兩個無窮大集合的大小可以是不同的。康托發現，“無限”其實不止一個。康托将他的每一個想法以文章的形式發表，用數學來解釋它們。
這是一種全新的數學方法。如果康托所說的是正确的，那麼整個數學就必須重新定義。許多數學家激烈地反對康托的觀點（著名的有克羅内克和龐加萊），他們認為亞裡士多德的無限概念比康托的概念更正确。備受質疑下，原本具有精神疾病的康托住進醫院。為了維持生計，康托向柏林的另一所大學申請工作，但也因他的“無窮觀點”得不到認可而被拒絕了。
什麼是無限？
到底是什麼概念讓康托瘋狂追尋，讓他在腦子裡反複琢磨？
埃利亞的芝諾是第一個提出關于無限概念的人。在思考無限的概念時，他引用了著名的阿喀琉斯和烏龜悖論。根據芝諾的說法，阿喀琉斯每次要追上烏龜，烏龜就會往前移動一點，而這個過程會無限重複下去。雖然這乍聽起來很有道理，仔細思考就會覺得哪裡不對勁。怎麼把無窮多的數相加呢？偉大的數學家歐拉向我們展示了如何将無窮級數相加。通過計算無窮級數收斂到一個有限的數，歐拉解決了芝諾悖論。
後來，亞裡士多德提出了讓許多思想家至今都接受的觀點：
無限就像地平線，它是我們為了便于理解而使用的不存在的東西。我們用這個概念來代替“無邊界”。如果某物有可能增長到超過預定的大小，我們就說它會永遠持續下去。
這就是為什麼要定義無限，以擺脫某種不确定性。還有什麼比數學更好的工具來定義無限呢？無限的概念隻能用康托在1884年提出的可數性來定義。康托是怎麼做的？
N ={0, 1, 2, 3，…}表示自然數集，這是公認的。康托首先在0、1、2、3、…的末尾加上一個“無限數”，用omega（ω）表示：
然而，康托并沒有止步于此，他繼續添加數字：
繼續下去，直到2ω：
用這種方式繼續下去，得到了下面這些數字：
然而，過了一段時間，康托開始認為無限的概念本身沒有任何意義。畢竟，無限是有限的對立面。有限的概念也沒有太大的意義。後來，康托将“無限”與“集合”聯系取來。在那之前，集合是由對象組成的有“有限體”，康托決定用集合來解釋“無限”。
為此，康托首先必須定義集合的概念，他決定用純數學的來處理這個問題。在他1874年發表的文章中，他這樣描述集合：
所謂集合，是指我們直覺或思想的明确而獨立的對象的集合。
例如：
{x: x是奇正整數}
{x: x是小于9999的質數}
簡單地說，集合就是對象的集合。而在數學中，當我們說到“對象”時，我們想到的是數字或集合，根據康托的說法，一個對象要被定義為集合，它不需要滿足特定的要求，任何想到的對象都可以構成集合。
在定義了“集合”後，康托開始頭腦風暴，思考兩個大小相同的“集合”意味着什麼。然後他發現了一個基本思想，一一對應（雙射）。用這個方法，康托可以證明兩個集合是否有相同數量的對象。康托的邏輯非常直接，原始時代，人們會在牆上為他們獵殺的每一個動物畫一條線。康托使用了同樣的方法，将無限的概念，如實數，與其他無限集相匹配。
根據康托，如果我們可以将集合A中的對象與集合B中的對象一一對應，并且兩個集合都沒有不匹配的對象，那麼它們的大小是相等的。一個簡單的例子是讓我們左手的手指和右手的手指相匹配。
一一對應與計數（數數）有很大不同。當我們讨論每個集合中的對象時，我們不是一個一個地數，而是匹配它們。我們不說這兩個集合有多少的對象，我們說它們有相等數量的對象。
然而，康托不僅是對有限集使用這種一一對應的方法，而且對無限集也使用這種方法。引入這種方法後，集合被分為有限集和無限集（以及具有不同大小的無限集）。例如，自然數的無窮（N）等于有理數的無窮（Q），實數的無窮（R）大于自然數的無窮（N）。
康托是如何用數學方法進行“匹配”的？
讓我們先來考慮一下自然數集。自然數有1、2、3、4、5、6……。根據康托的理論，自然數集是可數的（可數集），因此如果我們能将另一個集合與之匹配，那麼這個集合也是可數的。在我看來，這種方法是世界上最重要的數學方法之一。
首先，讓我們試着把自然數集合和偶數自然數集合匹配起來。
正如你在下面看到的，所有N和E的元素都可以相互匹配：n→2n。
因此，我們可以說這兩個集合的對象數量相等。
使用同樣的方法，我們還可以将所有自然數與整數（Z）匹配。。如果我們将1與0匹配，在此之後先匹配一個正數，然後匹配一個負數。可以看到，這兩個集合是一一對應的。
到目前為止，我們隻配對了兩個中間沒有“數”的集合。例如，1和2之間沒有自然數。
這種方法在有理數和無理數集合中是否有效？因為在這些集合中數字之間有無限個元素。例如，我們可以在1和2之間放置任意數量的對象（數字）。
你可能認為我們無法将自然數和有理數匹配起來。讓我們看下下面的圖片。我們在第一行和第一列寫了趨近于無窮多的自然數。然後，按照特定的規律，寫下所有有理數。
如你所見，我們可以将所有自然數與正有理數匹配。我們也可以用這個邏輯來匹配所有有理數和整數。因此，我們可以推測有理數是可數的。
那麼實數呢？遺憾的是，實數是不可數的，而康托也為這一點提供了很好的證明。
在證明實數不可數時，康托用矛盾法證明(0-1)之間的實數不可數。首先，他假設(0-1)之間的實數是可數的。康托寫下從1到n的所有自然數。然後他他把(0-1)之間的所有數字都寫在自然數的右邊，命名為x_1、x_2、x_n等。
根據假設，康托認為他不應該在(0-1)之間找到任何其他的數（不在右邊的列表中）。因此，他要找到一個不在(0-1)之間的數字，b。
康托用一種簡單的方法找到了一個數字b。
用這個方法，康托在(0-1)之間找到了一個與他之前寫過的所有數字都不同的數。這證明了他的假設是錯誤的。因此，實數是不可數的（不可列），因為當“一一對應”完成時，還許多實數無匹配對象。
康托在一篇文章中發表了這一革命性的證明，用不那麼數學的語言，他向世界展示了他的發現：
康托的這一發現（用數字來表示無限），在哲學世界引起了一場地震效應。這是因為每次革命都會在現有秩序中制造混亂。托拜厄斯·丹齊格在他的書《數字：科學的語言》中寫道，“康托爾對這個定理的證明是人類智慧的勝利。
如果你不理解康托的“無限理論”，别難受。因為，在康托時代，許多頂尖的數學家也不理解。甚至，它還引起了一些數學家的恐慌，他們說：
數學正在失去控制。
幾乎所有的數學家對即将到來的現代數學都有一種防禦反射，并直接否定康托的發現。
當時的天才，希爾伯特，是能理解康托的人之一。1900年，在巴黎的一次會議上，希爾伯特提出了23個問題，并把康托的連續統假設問題作為他的第一個問題。他最後說，
沒人能把我們從康托為我們創造的天堂中趕出去。
下面是希爾伯特的23個問題清單：
所有集合的集合是集合嗎？
伯特蘭·羅素用康托的集合概念提出了這樣一個問題：
所有集合的集合是一個集合嗎？
這個問題又一次分裂了數學界。對于許多數學家來說，為了解決羅素悖論，他們應該放棄集合論。
首先，根據康托對集合的定義，一個“事物”成為集合并不需要滿足任何條件。一個人想到的任何“東西”都可以被認為是一個集合。康托不知道當他提出集合理論時，會引起數學界的不和諧。有一段時間，數學家認為所有的對象都是集合。直到伯特蘭·羅素問了一個無法回避的問題：所有集合的集合是集合嗎？
好在羅素找到了解決他提出的悖論的方法。1908年，羅素提出了“類型論（type theory）”，對所有集合進行排序。
康托還提出了許多其他問題，數學世界陷入了一場深層次的危機。數年後，這段時期被稱為“數學基礎的危機”。擺脫危機的唯一方法就是抛棄經典的數學方法。數學家們認為“集合論”是不言自明的，并開始在其基礎上建立數學。在那之後，他們将無窮的定義數學化了。
分析和幾何的發展花了幾百年。而由于康托爾的天才，被稱為現代數學基礎的集合論，隻花了幾年的時間就發展起來了。
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