本知識适合六年級下的學生，可以當做學習如下課程前後的知識拓展材料：

上海教育出版社數學六年級 第二學期 第五章《有理數》

有理數由來（Rational Number）

公元前540年，古希臘畢達哥拉斯學派提出“萬物皆數”的觀點。這裡的數是指整數之比，即有理數。該學派認為數與幾何、數與音樂、數與天體、數與世界萬物有着極為密切的關系，整個五彩缤紛的世界處于數 的和諧之中，數是萬物之本。這一觀點在當時一直統治着人們的思想，對後世有着較大的影響。

有理數包括整數和分數，某些非最簡分數可以化簡成整數，所以，有理數也可以說與分數的範疇是一緻的，及回歸到它的最初含義，有理數就是整數比，或者說分子分母都為整數的分數。

有理數的開創者-畢達哥拉斯Pythagoras，希臘，約公元前580年—約前500（490）年

再偉大的發現也會有局限性，比如：當時對“數”研究得最透徹的偉大的數學家——畢達哥拉斯認為：世界上隻存在整數和分數，除此以外，沒有别的什麼數了。

畢氏在當時條件下認為“萬物皆數”，并用數去演練了宇宙萬物許許多多現象，得出”……隻…..，沒有……”絕對化的結論。而人類的科學史說明，任何事物都不是絕對的，隻是相對的，真理也不是。畢氏整數與分數的發現并沒有揭示出所有的數，曆史在等待着天才數學家去突破。

在古代，或許是傑出的人物做出的貢獻太偉大，結果會有相當一部分忠實的信徒把這種成就或理論當作不變的信仰，而這些信徒們往往也占據了很強大的資源并形成了龐大的勢力，于是對數學等科學的新突破、新發現采取打壓的保守策略，以維護自身團體在知識與智慧方面的“先進性”。無理數的産生也不無意外地導緻了發現新知識的天才被“信仰”舊知識的傳統保守勢力的殘酷迫害。

不久就出現一個問題：當一個正方形的邊長是1的時候，對角線的長m等于多少？是整數呢，還是分數？畢達哥拉斯和他的門徒相信這個數仍然是整數或分數，但他們費了九牛二虎之力，仍然不知道哪個分數是m，隻得作罷。學派成員希伯斯起初也以舊思維去推演了很多年沒有取得成功，但他沒有因為失敗而氣餒，反而興趣更加濃厚：“世界上除了整數和分數以外，還有沒有别的數？”希伯斯突破了老師的思維限制，于是他花費了很長的時間去鑽研，最終得出結論：“m這個數，既不是整數也不是分數，是我們還沒有認識的新數。”

希伯斯的發現推翻了畢達哥拉斯學派的理論，動搖了這個學派的基礎，為此引起了學派元老們的恐慌。為了維護學派的威信，畢氏學派嚴密封鎖希伯斯的發現，如果有人膽敢洩露出去，就處以極刑——活埋。然而真理是封鎖不住的，盡管畢達哥拉斯學派規矩森嚴，希伯斯的發現還是被許多人知道了。他們追查洩密的人，追查的結果，發現洩密的不是别人，正是希伯斯本人！這還了得！希伯斯竟背叛老師，背叛自己的學派。畢達哥拉斯學派按着規矩，要活埋希伯斯。希伯斯聽到風聲逃跑了。

希伯斯在國外流浪了好幾年，由于思念家鄉，他偷偷地返回希臘。在地中海的一條海船上，畢達哥拉斯的忠實門徒發現了希伯斯，他們殘忍地将希伯斯扔進地中海。

希伯斯雖然被害死了,但是他發現的“新數”卻還存在着。後來，人們從他的發現“無理數”的手稿中知道了除了整數和分數之外，世界上還存在着一種“新數”。正方形的對角線和邊長的比是這種新數、給這種新數起個什麼名字呢?當時人們覺得，整數和分數是人們已經習慣的，容易理解，就把整數和分數合稱“有理數”，而把希伯斯發現的新數起名叫“無理數”。

直角三角形研究中，提出無理數雛形的畢達哥拉斯門徒，希伯斯，Hippasus，約公元前500年

還有沒有别的無理數你竟然還認識？有的，那就是我們已經學過的圓周率π，π也是一個很著名的無理數。

1） 要麼是有限數，是整數，沒有小數點；要麼是小數，小數點後的數字個數可以數得清的；

例如，

0,1,5,9,17,102,3.5,7.543,9.5945,42.39143， ……

2） 要麼是無限小數，但是小數部分是某些數字按一定順序排列的、有規律的循環，并且一直延續下去。

……

明白了分數（或除法）産生了小數，有的還除不盡得到無限小數，究竟什麼分數（或除法）會産生有限數（整數和有限小數）？哪些分數（或除法）産生無限循環小數。

要回答這個問題，涉及兩個概念，一個是十進制概念，第二個是最簡分數概念。

先講最簡分數概念，即分數的化簡：

比如，

24÷6=4÷1=8÷2=12÷3=16÷4=20÷5=100÷25=2000÷500…

本質上，這個分數的分子與分母分别同時擴大2倍，比值不變。同樣，在這個分數的基礎上，分子與分母分别同時擴大3、4、5、20、25倍得到了其它分數而已。所謂比值不變，就像一棟房子有固定的長度20m、寬度8 m和高度6 m，你在紙上把這個房子畫成一幅畫，如果你畫得比較像，比如你把房子的長度畫成了200mm, 高度應該很接近60mm,寬度也應該很接近80mm，由于視覺的關系你很可能把寬度畫成了斜線，與長度的夾角不是90°而是45°（斜二測畫法）。也就是說：

以mm為單位，畫的長寬高比率，200：80：60=10：4：3

實際房子的比率，20000：8000：6000=10：4：3

也就是，按某個倍數分别放大或者縮小一個分數的分子和分母，分數數值不變；同樣按某個倍數分别放大或者縮小一個除式的被除數和除數，除法的值不變；同樣，按某個倍數分别放大或者縮小一個比數的前項和後項，比數的比值不變。

再講十進制對分數轉化成有限小數還是無限小數有怎麼影響？

先說一個結論：如果一個最簡分數，其分母不隻是10以及10的因數2、5形成的積，這個分數轉化成的小數就是無限循環小數；反之，隻有分母是隻有因數2、5形成的積，這個分數才是有限小數。

先看有限小數例如，

分母隻由5組成的分數：

分母更大的數可以自行驗證，結果是得到的小數的位數可能更多而已。

分母隻由2組成的分數：

分母更大的數可以自行驗證，結果是得到的小數的位數可能更多而已。

分母隻由2和5組成的分數：

比如，

這些分數，相當于隻由因數2或5形成的分母再除以10、100……

以上就是得到有限小數所有分數的類别，其它的分數都隻能轉化成無限小數。

為了證明這一點，從分母不是2、5形成最小的整數作分母開始算起，

……

有點吃驚這麼多數都是無限小數？無限循環小數比有限小數多多了，而我們日常見到的無限小數為什麼不太多？因為人們記不住無限小數且處理起來也太麻煩，大多數情況下，我們不把分數轉化成無限小數，實際使用時分數還更方便。

無理數也是無限小數，它是無限不循環小數，如

圓周率π=3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 7067982148 08651 3282...

自然對數e = 2.718281828459...

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