二次函數的三種表達式：

知識總結

二次函數的表達式有三種:

一般式 y=ax2 bx c(a≠0)；

頂點式 y=a(x-h)2 k；

交點式 y=a(x-x1)(x-x2).

三種表達式各有特點，下面我們分别細說。

一般式的表達式是y=ax2 bx c(a≠0)，a、b、c分别是二次項、一次項、常數項的系數，a、b、c分别有什麼用途呢？

1、a的符号确定了抛物線的開口方向，a＞0時，抛物線的開口向上，a＜0時，抛物線的開口向下.

2、因為對稱軸為直線，如果a、b同号，＜0，則對稱軸在y軸右側；如果a、b異号，＞0，則對稱軸在y軸左側，因此根據a,b的符号可以判斷出對稱軸的位置:左同右異（即：a、b同号，對稱軸下y軸左側，a、b異号，對稱軸在y軸右側）.

3、因為抛物線與y軸交點坐标為(0，c)，所以根據c的符号可以判斷抛物線與y軸交點的位置：當c＞0時，交點在y軸正半軸，當c＜0時，交點在y軸負半軸，當c=0時，抛物線經過原點（0,0）.

1、将抛物線的一般式y=ax2 bx c(a≠0)經過配方可以得到由頂點式，令可得對稱軸為直線，代入頂點式可得定點的縱坐标為.根據頂點坐标公式可以求出對稱軸為直線x=h，根據坐标的符号可以觀察出頂點在第幾象限.

2、平移抛物線時，最好化成頂點式，利用左加右減的法則平移.比如，将抛物線向左平移4個單位，再向下平移3個單位得到的解析式為，即；再如将抛物線向右平移6個單位，再向上平移2個單位得到的解析式為.需要注意的是，左右平移在頂點橫坐标後邊加減，上下平移在頂點縱坐标後邊加減.

3、利用抛物線的頂點式可以解決實際問題中的最值問題.

1、交點式是由抛物線與x軸交點的橫坐标得來的.設抛物線與x軸的兩個交點為A（x1,0）、B（x2,0），那麼可以将一般式化成交點式：y=a(x-x1)(x-x2).反過來，由交點式可以直接得到抛物線與x軸的交點坐标.

2、可以根據交點式快速求出抛物線的頂點坐标，，代入交點式y=a(x-x1)(x-x2)就可以得到頂點的縱坐标，而且，(x-x1)(x-x2)一定互為相反數，所以代入時隻需代入一個因式，兩個因式積的相反數再乘以系數，即可求出頂點縱坐标，在二次函數的實際應用中，利用這種方法求最大(或最小)值是很方便的。舉例說明：

某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷中發現，這種商品每天的銷售量m(件）與每件的售價x(元）滿足一次函數m=162-3x.

（1)寫出商場銷售這種商品每天的銷售利潤y與每件的售價x之間的函數關系式；

（2）如果商場要想每天獲得最大的銷售利潤，每件商品的售價定為多少最合适?最大銷售利潤為多少?

解：（1）y=（x-30）m=（x-30）（162-3x）

=-3（x-30）（x-54）

=-3（x-42）2 432

∵-3＜0,

∴當x=42時，y有最大值432.

（2）略

（理由：這個二次函數與x軸的交點坐标為x1=30，x2=54，所以對稱軸為直線，代入函數關系式，即可求出最大值.）

注意：對于y=-3（x-30）（x-54）求最值，如果展開得到一般式，再去配方，計算量比較大，而用交點式求最值就簡單多了.

方法：将二次函數的兩個一次因式化為這種形式y=a(x-x1)(x-x2)，将對稱軸代入即可求出最值.

經典例題講解：

任何兩個函數圖像的交點都可以聯立兩個函數的解析式，通過解方程組求出交點的坐标.

比如，求抛物線y=ax2 bx c(a≠0)與x軸的交點情況，因為x軸的解析式是y=0，所以聯立兩個解析式，解方程組就可以得到交點坐标.聯立 解方程組即可，抛物線與x軸交點的情況其實就是方程ax2 bx c=0解的情況：

（1）當△＞0時，一元二次方程ax2 bx c=0有兩個不相等的實數根x1，x2，方程組有兩組解，那麼抛物線與x軸有兩個交點，坐标分别為A（x1,0）、B（x2,0）.反之也成立.

（2）當△=0時，一元二次方程ax2 bx c=0有兩個相等的實數根x1=x2，方程組有兩組相同的解，抛物線與x軸有一個交點，這時，二次三項式ax2 bx c是一個完全平方式，抛物線與x軸的這個交點就是抛物線的頂點.反過來，如果抛物線的頂點在x軸上或者抛物線與x軸有一個交點，那麼一元二次方程ax2 bx c=0有兩個相等的實數根，二次三項式ax2 bx c是一個完全平方式.

總結：△=0、一元二次方程ax2 bx c=0有兩個相等的實數根、二次三項式ax2 bx c是一個完全平方式、抛物線的頂點在x軸上、抛物線與x軸有一個交點都是同一個意思.

（3）當△小于0時，一元二次方程ax2 bx c=0沒有實數根，方程組無解，抛物線與x軸沒有交點.

推廣：求抛物線y=ax2 bx c(a≠0)與直線y=kx b（k≠0）的交點坐标，隻需聯立兩個解析式，解方程組即可.一元二次方程ax2 bx c=kx b的解的情況就是兩個函數圖形交點的情況，可以類比抛物線與x軸交點情況.其實任意兩個函數的交點都可以聯立兩個函數的解析式解方程組求解.

經典例題：

已知抛物線與x軸交于A（1,0），B（-4,0）兩點，與Y軸交于點C，且AB=BC，求此抛物線對應的函數表達式。

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