群論是抽象代數的分支，抽象代數是研究代數系統的學科。
要理解什麼是代數系統，先得明白什麼叫運算。
運算是
n個集合下的笛卡爾積到m個集合下的笛卡爾積之間的映射。其中，n和m是正整數，并且這n m個集合可以任意重合，也可以互不一樣。
比如，我們整數上的加法乘法，我們的有向圖計算入度出度，我們對于可微函數求微分，我們對于邏輯式求值，我們對于運算的運算……這一切，都是運算。
而所謂代數系統就是上面n m個集合和上面的所有的運算整體的集合。抽象代數就是去研究滿足相通性質的代數系統的共性，研究共性的前提就在于把運算抽象化。
說白了，所謂的代數系統可以有無數種，甚至抽象代數本身就可以分成無限多個子學科。
而群論說白了，就是研究隻有一種運算、我們稱為乘法運算的代數系統的學科，這基本上是所有代數系統中比較簡單的系統。在此學科中，我們研究群的分類、各分類的共性等各種性質。
所謂群，滿足以下性質：
1.集合上存在一個二元運算(二元運算是集合A上一個AxA->A的映射)，我們稱為乘法，可以記作⊗
2.乘法滿足結合率，對于任何集合上a,b,c,滿足a⊗b⊗c =a⊗(b⊗c)
3.集合中存在一個元素e,對于集合上任何元素a,有a⊗e=e⊗a
4.對于集合上任何元素a，存在集合上一個元素b，使得a⊗b=e,b⊗a=e
實際上，上述條件還可以看似弱一點，
比如
對于集合上任何元素a，存在集合上一個元素b，使得a⊗b=e，存在一個元素c,使得c⊗a=e
a⊗b = e
=>
c⊗(a⊗b) = c⊗e
=>
c⊗a⊗b = c
=>
e⊗b = c
=>
b = c
而滿足上述1、2兩條的，叫半群。
注意，群裡的乘法不用滿足交換率，也就是
a⊗b = b⊗a不用對所有a,b都成立。
比如實數下的n階滿秩矩陣群就是個例子，而滿足交換律的群叫交換群，又稱Abel群。
在數學中，滿足群上述定義這樣的代數模型是普遍存在的，從而抽象去研究它們的共性，利用同構、同态(實際上是某種代數系統的相似)等，就等于研究了一堆模型的性質，提供了強大的數學建模工具。
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