康托

現代意義上的集合概念是德國數學家康托(G．Cantor，1845～1918)給出的，他在研究三角級數收斂問題時發現，如果對于一個給定區間[a，b]中的任何一點x，當n→∞時，這個級數中的一般項

a_nsin(nx) b_n cos(nx)

都趨向于0，則系數所構成的數列{a_n}和{b_n}就必須都趨向于0。可是，如果還有其他的系數的數列，比如說{c_n}和{d_n}也滿足這個性質，那麼，這些系數的數列之間将具有什麼關系呢？為了讨論問題的方便，分别用A，B，C和D表示這四個系數構成的數列，那麼用現在的語言說，這就形成了四個“點集”。按照康托後來的定義，這四個集合代表的數列是等價的，我們将在這一講的《無窮的度量與連續統》中詳細地讨論這個問題。

第一個集合論公理系統是德國數學家策梅羅(E．Zermelo，1871～1953)于1908年給出的，他的著名論文《關于集合論基礎的研究》是這樣開始的：

“集合論是這樣一個數學分支，它的任務就是從數學上以最為簡單的方式來研究數、序和函數等基本概念，并借此建立整個算術和分析的邏輯基礎，因此構成了數學科學的必不可少的組成部分，但是在當前這門學科的存在本身似乎受到某種矛盾或者悖論的威脅，而這些矛盾和悖論似乎是從它的根本原理導出來的，而且一直到現在，還沒有找到适當的解決辦法。面對着羅素關于‘所有不包含以自己為元素的集合的集合’的悖論，事實上，它今天似乎不能再容許任何邏輯上可以定義的概念‘集合’或‘類’為其外延。按照康托原來的關于集合的定義，把我們直觀或者我們思考所确定的不同的對象作為一個總體，現在看來，這個定義肯定要求加上某種限制，雖然到現在為止還沒有成功地用另外同樣簡單的定義代替它，而不引起任何疑慮。在這種情況下，我們沒有别的辦法，而隻能嘗試反其道而行之。也就是從曆史上存在的集合論出發，來得出一些原理，而這些原理是作為這門數學科的基礎所要求的。這個問題必須這樣解決，使得這些原理足夠的狹窄，足以排除掉所有的矛盾。同時，要足夠的寬廣，能夠保留這個理論所有有價值東西。”

策梅羅

我們知道，集合論是現代數學的基礎，可是，從上面的論述中可以發現，作為科學典範的數學的論證基礎，從誕生的那個時刻開始就不平靜，各種猜疑、非議，甚至悖論、批評相繼出現。我想，對數學進行的研究，至少對數學教育，認真分析這些争論的核心問題是有必要的，因為這對把握現代數學的論證思路和推理模式是有益處的。策梅羅在上文中所說的羅素的悖論和康托原來的定義都是最為核心的問題，我們将詳細地讨論這兩個問題，通過對這兩個問題的讨論來探讨如何給出集合的定義，從而分析集合論公理化系統的本質。

在日常生活和生産實踐中，有許多名詞經常使用，人們對這些名詞似乎有了約定俗成的理解，借助這些理解人們就能夠進行很好的交流，甚至可以作出很好的研究，但要給出這些名詞确切的定義非常困難，“集合”這個名詞就是如此。在前幾講中，我們曾經反複地使用了集合的概念，并且借助元素與集合之間、集合與集合之間的包含關系很好地分析了推理的過程，構建了一些推理的模式。可是，如何給出“集合”一個确切的定義呢？

在我們使用集合這個概念的時候，頭腦中認定的集合大概是：所要研究問題對象的全體。但在許多場合這個概念是模糊的，比如我們曾經舉例提到過的“北方人”、“辣的菜”、“費時的工作”等等。因此，在上述對于集合認定的基礎上至少還要加上一個限定詞：可分辨的。于是大概可以認定集合是：可分辨的、所要研究問題對象的全體。也就是說，對于每一個所要研究問題的對象x，我們能夠明确地知道這個對象x是否屬于這個集合。這又似乎變成了性質而不是定義了。

進一步用符号表示。所謂“可分辨的”應當指：讨論問題對象所具有的某種特性。我們用P表示這種特性，那麼可以規定：如果x具有特性P則認為x屬于集合。從上述策梅羅的文章的述說中可以看到，這個規定已經非常接近康托最初的定義了。但是這個定義引發了許多悖論。首先是羅素于1902年給出的一個悖論，因為圖書的目錄也可以裝訂成書，因此對于有些圖書館，“圖書館圖書的目錄”這個集合可以包括圖書目錄本身，于是羅素認為：

“集合可以分為兩類，一類是構建集合的特性包含了集合本身，比如圖書目錄，稱為R集，還有一類是構建集合的特性不包含集合，稱為非R集。我們把所有非R集的集合總括為一個新的集合，用M表示，現在的問題是：M屬于R集還是屬于非R集？如果屬于R集，不符合M的定義；如果屬于非R集，那麼按照R集的定義，M又應當屬于R集。于是就出現了矛盾”

20世紀最偉大的數學家希爾伯特曾經說過，這個悖論對數學界具有災難性的後果。德國邏輯學家弗雷格(G．Frege，1848 - 1925)正準備把他的著作《基本法則》的第二卷交付印刷時收到了羅素的來信，信中提及上述悖淪。弗雷格在那本準備交付印刷的著作中，把整個算術重新建立在集合淪的基礎上，而他認為的集合就是康托所描述的那樣的集合，當他收到羅素的有關悖論的信之後非常緊張，馬上重新審閱了書稿，他在最終出版廠的這部著作的附言中，詳細地述說了當時的心情：

“在一項研究接近尾聲時，其基礎突然坍塌，對于一個科學家，再也沒有比這更令人沮喪的了。這本書在交付印刷時羅素先生的信就使我陷入了這樣的境地。”

羅素

1918年，羅素把這個悖論表述得更加通俗，就是廣為人知的“理發師悖論”：

“一個喜歡自誇的鄉村理發師宣稱，他不給村裡自己刮臉的人刮臉，但給所有不自己刮臉的人刮臉。後來他遇到了尴尬，他是否應當給自己刮臉呢？如果他給自己刮臉，那麼按照他宣稱的前一半，就不應當給自己刮臉；如果他不給自己刮臉，那麼按照他宣稱的後一半，就應當給自己刮臉。理發師陷入了邏輯兩難的困境。”

包括羅素本人在内的大部分邏輯學家認為，上面所說的兩個悖論是一緻的，是沒有本質差異的。但我認為，這兩個悖論是有本質差異的：第一個悖論是與集合論公理體系有關的；第二個悖論涉及的并不是集合論本身的問題，而涉及的是論證的哲學原理。我們來分析這個問題。

第一個悖論是由“圖書目錄的目錄仍然是目錄”所引發的，提出的是“集合是否可以包含集合本身”這樣的問題。因此隻要規定：集合A不包含集合A本身，就像我們将要在下一節讨論集合論公理體系中所規定的那樣，就可以化解這個問題。事實上，在現在測度論的教科書中，已經把由集合的子集（包括集合本身）組成的類稱為“域”或者“代數”，後來康托證明了就無窮多個元素而言，“域”所含元素的個數比原來集合所含元素的個數多一個數量級。

第二個悖論是由“理發師的工作特征與自己的述說之間的矛盾“所引發的，提出的是“判斷者是否可以進入判斷系統”的問題。這是一個相當複雜的問題，這樣的問題在西方哲學中是少見的，因此稱其為悖論，但這樣的問題在東方哲學特别是中國古代哲學中卻是常見的。事實上，我想，我們在《推理的對象：命題》和《命題的基礎：定義》中曾經讨論過的，哥德爾論證的“一個公理系統的相容性不能通過該系統論證”這個命題的哲學原理也正在于此：通過系統自身的邏輯體系來評價這個體系的全貌是不可能的。

如果康托關于集合的定義或者說關于集合的描述是不可行的，是可以出現悖論的，那麼，到底應當如何定義集合呢？

回想我們在《圖形與圖形關系德抽象》中關于平面幾何中基本概念的讨論，比如對點、線、面的讨論。最初是古希臘學者泰勒斯（Thales，約前624～前546）直觀地研究了這些概念，并且給出了最初的平面幾何的定理。後來，歐幾裡得抽象出了幾何學所要研究對象的定義：點是沒有部分的，線隻有長度沒有寬度，面隻有長度和寬度。可以看到，歐幾裡得的定義并沒有完全擺脫經驗層面的東西，我們曾經稱這種定義為第一步抽象。随着研究的逐漸深入，特别是非歐幾何的出現，人們發現了歐幾裡得定義的缺陷，于是又有了希爾伯特的關于定義的第二次抽象，那就是符号化：用大寫字母A，B，C表示點，小寫字母a，b，c表示線，希臘字母α，β，γ表示平面。然後，希爾伯特通過構建幾何公理化體系來确定點、線、面之間的關系。我們曾經說過，數學概念第二次抽象的特點是：數學表達的符号化和數學論證的形式化；并且我們說過，盡管第二次抽象在形式上是美妙的，但就功能而言，第一次抽象發現了新的知識，第二次抽象合理地解釋了新的知識。

同樣，如果我們把康托關于集合的定義和論證看做第一次抽象的話，那麼，關于集合的第二次抽象是什麼呢？後續我們将接着讨論這個問題。

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