一道高中幾何題-求圓内接四邊形的外接圓的半徑
一個圓的内接四邊形的相連的四個邊分别是25, 39, 52, 60,求這個圓的直徑。
解: 如圖, 設AB=25, BC=39, CD=52, DA=60,∠DAB=y, 并設DB=x,
在三角形DCB和三角形DAB中分别用餘弦定理:
由于:
化簡:
由此可以推出:
cos(y)=0,
即y=90°
因此DB是直徑, 利用勾股定理可以得出:
實際上另一種解題思路是,當發現:
就發現了BD是直徑,這是因為隻有對應的四邊形的對頂角為90度才有此結果。這一點通過上面的推導過程可以證明, 讀者自己可以确認。
思考,此題恰巧趕上了對角的餘弦是0, 若假定沒有cosy=0的情況,這道題也是可以求解的,因為通過cosy的值可以算出siny, 同樣可以通過三邊長度求出另一個角的餘弦,再算出正弦,這樣通過正弦定理就可以直徑, 因為:
a/sinA=b/sin B=c/sinC=2R
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