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怎麼求一個三角形的外接圓的值

教育 更新时间:2024-07-06 21:33:30

一道高中幾何題-求圓内接四邊形的外接圓的半徑

一個圓的内接四邊形的相連的四個邊分别是25, 39, 52, 60,求這個圓的直徑。

怎麼求一個三角形的外接圓的值(一道高中幾何題-求四邊形的外接圓的半徑)1

解: 如圖, 設AB=25, BC=39, CD=52, DA=60,∠DAB=y, 并設DB=x,

怎麼求一個三角形的外接圓的值(一道高中幾何題-求四邊形的外接圓的半徑)2

在三角形DCB和三角形DAB中分别用餘弦定理:

怎麼求一個三角形的外接圓的值(一道高中幾何題-求四邊形的外接圓的半徑)3

由于:

怎麼求一個三角形的外接圓的值(一道高中幾何題-求四邊形的外接圓的半徑)4

化簡:

怎麼求一個三角形的外接圓的值(一道高中幾何題-求四邊形的外接圓的半徑)5

由此可以推出:

cos(y)=0,

即y=90°

因此DB是直徑, 利用勾股定理可以得出:

怎麼求一個三角形的外接圓的值(一道高中幾何題-求四邊形的外接圓的半徑)6

實際上另一種解題思路是,當發現:

怎麼求一個三角形的外接圓的值(一道高中幾何題-求四邊形的外接圓的半徑)7

就發現了BD是直徑,這是因為隻有對應的四邊形的對頂角為90度才有此結果。這一點通過上面的推導過程可以證明, 讀者自己可以确認。

思考,此題恰巧趕上了對角的餘弦是0, 若假定沒有cosy=0的情況,這道題也是可以求解的,因為通過cosy的值可以算出siny, 同樣可以通過三邊長度求出另一個角的餘弦,再算出正弦,這樣通過正弦定理就可以直徑, 因為:

a/sinA=b/sin B=c/sinC=2R

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