二維圖形幾何變換矩陣含義-tft每日頭條

二維圖形幾何變換矩陣含義

生活更新时间:2024-12-29 05:45:15

線性代數在算法，人工智能領域應用非常廣泛，本篇來了解矩陣乘法的幾何意義是什麼：

首先了解向量在空間中的表示方式

二維圖形幾何變換矩陣含義（線性變換二維空間）1

i和j分别是x軸和y軸上的單位向量（含有方向數量是1），所以上述的向量又可以寫成：

二維圖形幾何變換矩陣含義（線性變換二維空間）2

因為矩陣屬于線性代數的範疇，所以坐标上的變換必須是線性的：什麼才是線性變換呢

如圖，這是在直角坐标系中的表示方式，i和j代表着x軸和y軸上的方向

二維圖形幾何變換矩陣含義（線性變換二維空間）3

如圖假設我x軸和y軸保持任意一個角度，坐标上任意一點的橫坐标都平行于x軸，縱坐标都平行于y軸，那麼這樣的點坐标相對于原來的直角坐标系隻是相差一個正弦或餘弦的角度，所以他們是一種線性關系，

二維圖形幾何變換矩陣含義（線性變換二維空間）4

單位向量i和j做同步旋轉，形成新的坐标向量空間，但-1和2隻是I,j空間中的位置，所以隻要跟随i和j的腳步就可以得到新的向量。

二維圖形幾何變換矩陣含義（線性變換二維空間）5

形成的新向量就是原來的向量與變換後的i和j之間的線性組合。

二維圖形幾何變換矩陣含義（線性變換二維空間）6

将向量用x y來替代就形成如下的格式，

二維圖形幾何變換矩陣含義（線性變換二維空間）7

我們将變化後的i和j放到一個矩陣裡

二維圖形幾何變換矩陣含義（線性變換二維空間）8

最終就變成了我們熟悉的樣式，這就是矩陣乘法原理

二維圖形幾何變換矩陣含義（線性變換二維空間）9

舉個例子一目了然：矩陣乘法就是向量在I,j變換後的空間中的位置。這正是它們線性組合的結果。

二維圖形幾何變換矩陣含義（線性變換二維空間）10

單位向量i和j旋轉90度，x,y的位置

二維圖形幾何變換矩陣含義（線性變換二維空間）11

單位向量i不變j旋轉後，x,y的位置

二維圖形幾何變換矩陣含義（線性變換二維空間）12

矩陣向量的乘法就是計算線性變換作用于給定向量的的一種途徑。所以向量乘法就是一種特定的空間變換。

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