這是一道關于羅爾中值定理最基礎的應用題目。有些同學剛學羅爾中值定理，可能能夠記得它的内容，甚至也能理解，但是就是不知道該怎麼用，那麼學這道題就對了，它會從正反兩個方面，給你演示羅爾中值定理是怎麼應用的。我們來看題吧：

試讨論下列函數在指定區間内是否存在一個點ξ，使f’(ξ)=0.

(1)f(x)={xsin(1/x), 0<x<=1/π；0, x=0}; (2)f(x)=|x|, -1<=x<=1.

如果你不知道該怎麼做，就先複習一下羅爾中值定理的内容：

若函數f滿足如下條件：

1)f在閉區間[a,b]上連續；

2)f在開區間(a,b)内可導；

3)f(a)=f(b)，

則在(a,b)内至少存在一點ξ，使得f’(ξ)=0.

很明顯，函數(1)對應定理中的區間是[0,1/π]和(0,1/π)；而函數(2)對應定理中的區間是[-1,1]和(-1,1).

首先我們要看看它們在各自的閉區間上是否連續，在各自的開區間上是否可導，即檢驗條件1和條件2.

這兩個函數其實都是分段函數，每段函數都是初等函數，根據初等函數在定義域内都是連續函數，可知，兩個函數在對應的閉區間上都是連續的。

而函數(1)在(0,1/π)上可導，它的導函數是f'(x)=sin(1/x)-cos(1/x) /x，其實解這道題并不需要求導，隻要知道它可導就行了。而函數(2)在x=0是不可導的。所以函數(1)符合羅爾中值定理的前兩個條件，函數(2)不符合羅爾中值定理的條件2. 不過不符合條件2并不能說明就一定不存在一點ξ，使得f’(ξ)=0，隻能說不一定存在。

不過由于函數(2)在(-1,0)U(0,1)上的導數值不是-1, 就是1，因此，這個點的确是不存在的。

接下來檢驗函數(1)的條件3. 不難檢驗得到f(0)=f(1/π)=0，因此函數(1)符合羅爾中值定理的所有條件，所以函數(1)就在(0,1/π)上存在一點ξ，使得f’(ξ)=0. 函數(2)就沒有必要檢驗條件3了。

接下來組織解題過程：

解：(1)f(x)在[0,1/π]上連續，在(0,1/π)上可導, 且有f(0)=f(1/π)=0,

由羅爾中值定理知，存在一點ξ∈(0,1/π)，使得f’(ξ)=0.

(2)f(x)在[-1, 1]上連續，但在(-1,1)内x=0上不可導,

∴不一定存在一點ξ∈(-1,1)，使f’(ξ)=0.

又 f'(x)={1, x>0; -1, x<0}，∴不存在一點ξ∈(-1,1)，使f’(ξ)=0.

怎麼樣？是不是很簡單，一看就會啊！

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