費馬大定理 内容

當整數n > 2時，關于x,y,z的不定方程 x^n y^n = z^n 無正整數解。

懷爾斯和費馬大定理

這個定理，本來又稱費馬最後的定理，由17世紀法國數學家費馬提出，而當時人們稱之為“定理”，并不是真的相信費馬已經證明了它。雖然費馬宣稱他已找到一個絕妙證明，德國佛爾夫斯克宣布以10萬馬克作為獎金獎給在他逝世後一百年内，第一個證明該定理的人，吸引了不少人嘗試并遞交他們的“證明”。在一戰之後，馬克大幅貶值，該定理的魅力也大大地下降。

但經過三個半世紀的努力，這個世紀數論難題才由普林斯頓大學英國數學家安德魯·懷爾斯和他的學生理查·泰勒于1994年成功證明。證明利用了很多新的數學，包括代數幾何中的橢圓曲線和模形式，以及伽羅華理論和Hecke代數等，令人懷疑費馬是否真的找到了正确證明。而安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）由于成功證明此定理，獲得了1998年的菲爾茲獎特别獎以及2005年度邵逸夫獎的數學獎。

猜想的發現

費馬在閱讀丢番圖《算術》拉丁文譯本時，曾在第11卷第8命題旁寫道：“将一個立方數分成兩個立方數之和，或一個四次幂分成兩個四次幂之和，或者一般地将一個高于二次的幂分成兩個同次幂之和，這是不可能的。關于此，我确信已發現了一種美妙的證法 ，可惜這裡空白的地方太小，寫不下。”（拉丁文原文： "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi。 Hanc marginis exiguitas non caperet。"）

畢竟費馬沒有寫下證明，而他的其它猜想對數學貢獻良多，由此激發了許多數學家對這一猜想的興趣。數學家們的有關工作豐富了數論的内容，推動了數論的發展。對很多不同的n，費馬定理早被證明了。但數學家對一般情況在首二百年内仍對費馬大定理一籌莫展。

證明曆程

莫德爾猜想

1983年，聯邦德國數學家伐爾廷斯證明了莫德爾猜想，從而翻開了費馬大定理研究的新篇章，伐爾廷斯獲得1982年菲爾茲獎。

伐爾廷斯于1954年7月28日生于聯邦德國的傑爾森柯琛，并在那裡渡過了學生時代，而後就學于内斯濤德教授門下學習數學。1978年獲得博士學位。他作過研究員、助教，現在是波恩大學的教授。他在數學上的興趣開始于交換代數，以後轉向代數幾何。

左起：費馬，懷爾斯，莫德爾

1922年，英國數學家莫德爾提出一個著名猜想，人們叫做莫德爾猜想。按其最初形式，這個猜想是說，任一不可約、有理系數的二元多項式，當它的“虧格”大于或等于2時，最多隻有有限個解。記這個多項式為f(x，y），猜想便表示：最多存在有限對數偶xi，yi∈Q，使得f(xi，yi)=0。

後來，人們把猜想擴充到定義在任意數域上的多項式，并且随着抽象代數幾何的出現，又重新用代數曲線來叙述這個猜想了。因此，伐爾廷斯實際上證明的是：任意定義在數域K上，虧格大于或等于2的代數曲線最多隻有有限個K一點。

數學家對這個猜想給出各種評論，總的看來是消極的。1979年利奔波姆說：“可以有充分理由認為，莫德爾猜想的獲證似乎還是遙遠的事。”

對于“猜想”，1980年威爾批評說：“數學家常常自言自語道：要是某某東西成立的話，‘這就太棒了’（或者‘這就太順利了’）。有時不用費多少事就能夠證實他的推測，有時則很快否定了它。但是，如果經過一段時間的努力還是不能證實他的預測，那麼他就要說到‘猜想’這個詞，既便這個東西對他來說毫無重要性可言。絕大多數情形都是沒有經過深思熟慮的。”因此，對莫德爾猜想，他指出：我們稍許來看一下“莫德爾猜想”。它所涉及的是一個算術家幾乎不會不提出的問題；因而人們得不到對這個問題應該去押對還是押錯的任何嚴肅的啟示。

然而，時隔不久，1983年伐爾廷斯證明了莫德爾猜想，人們對它有了全新的看法。在伐爾廷斯的文章裡，還同時解決了另外兩個重要猜想，即台特和沙伐爾維奇猜想，它們同莫德爾猜想具有同等重大意義。

這裡主要解釋一下莫德爾猜想，至于證明就不多講了。　所謂代數曲線，粗略一點說，就是在包含K的任意域中，f(x，y)=0的全部解的集合。

令F(x，y，z）為d次齊次多項式，其中d為f(x，y）的次數，并使F(x，y，1）=f(x，y），那麼f(x，y）的虧格g為 g≥（d-1）（d-2）/2， 當f(x，y）沒有奇點時取等号。

費馬多項式x^n y^n-1沒有奇點，其虧格為（n-1）（n-2）/2。當n≥4時，費馬多項式滿足猜想的條件。因此，xn yn=zn最多隻有有限多個整數解。

為什麼猜想中除去了f(x，y）的虧格為0或1的情形，即除去了f(x，y）的次數d小于或等于3的情形呢？我們說明它的理由。

d=1時，f(x，y)=ax by c顯然有無窮多個解。

d=2時，f(x，y）可能沒有解，例如f(x，y)=x2 y2 1；但是如果它有一個解，那麼必定有無窮多個解。我們從幾何上來論證這一點。設P是f(x，y）解集合中的一點，令l表示一條不經過點P的直線（見上圖）。對l上坐标在域K中的點Q，直線PQ通常總與解集合交于另一點R。當Q在l上取遍無窮多個K—點時，點R的集合就是f(x，y）的K—解的無窮集合。例如把這種方法用于x2 y2-1，給出了熟知的參數化解：

當F(X，Y，Z）為三次非奇異（即無奇點）曲線時，其解集合是一個所謂橢圓曲線。我們可用幾何方法做出一個解的無窮集。但是，對于次數大于或等于4的非奇異曲線F，這種幾何方法是不存在的。雖然如此，卻存在稱為阿貝爾簇的高維代數簇。研究這些阿貝爾簇構成了伐爾廷斯證明的核心。

伐爾廷斯在證明莫德爾猜想時，使用了沙伐爾維奇猜想、雅可比簇、高、同源和台特猜想等大量代數幾何知識。　莫德爾猜想有着廣泛的應用。比如，在伐爾廷斯以前，人們不知道，對于任意的非零整數a，方程y2=x5 a在Q中隻有有限個

有限組互質

1983年，en:Gerd Faltings證明了Mordell猜測，從而得出當n > 2時（n為整數），隻存在有限組互質的a,b,c使得a^n b^n = c*n。

1986年，Gerhard Frey 提出了“ ε-猜想”：若存在a,b,c使得a^n b^n = c^n，即如果費馬大定理是錯的，則橢圓曲線y^2 = x(x - a^n)(x b^n) 會是谷山-志村猜想的一個反例。Frey的猜想随即被Kenneth Ribet證實。此猜想顯示了費馬大定理與橢圓曲線及模形式的密切關系。

1995年，懷爾斯和泰勒在一特例範圍内證明了谷山-志村猜想，Frey的橢圓曲線剛好在這一特例範圍内，從而證明了費馬大定理。

懷爾斯證明費馬大定理的過程亦甚具戲劇性。他用了七年時間，在不為人知的情況下，得出了證明的大部分；然後于1993年6月在劍橋大學的一個讨論班上宣布了他的證明，并瞬即成為世界頭條。不過在審批證明的過程中，專家發現了一個缺陷。懷爾斯和泰勒然後用了近一年時間改進了它，在1994年9月以一個之前懷爾斯抛棄過的方法得到成功，這部份的證明與岩澤理論有關。他們的證明刊在1995年的數學年刊（en:Annals of Mathematics）之上。

n=3，歐拉證明了n=3的情形，用的是唯一因子分解定理。

n=4，費馬自己證明了n=4的情形。

n=5，1825年，狄利克雷和勒讓德證明了n=5的情形，用的是歐拉所用方法的延伸，但避開了唯一因子分解定理。

n=7，1839年，法國數學家拉梅證明了n=7的情形，他的證明使用了跟7本身結合的很緊密的巧妙工具，隻是難以推廣到n=11的情形；于是，他又在1847年提出了“分圓整數”法來證明，但沒有成功。

庫默爾在1844年提出了“理想數”概念，他證明了：對于所有小于100的素指數n，費馬大定理成立，此一研究告一階段。

n<1,000,000

至1991年對費馬大定理指數n<1,000,000費馬大定理已被證明，但對指數n>1,000,000沒有被證明。

谷山豐

志村五郎

谷山——志村猜想

1955年，日本數學家谷山豐首先猜測橢圓曲線于另一類數學家們了解更多的曲線——模曲線之間存在着某種聯系；谷山的猜測後經韋依和志村五郎進一步精确化而形成了所謂“谷山——志村猜想”，這個猜想說明了：有理數域上的橢圓曲線都是模曲線。這個很抽象的猜想使一些學者搞不明白，但它又使“費馬大定理”的證明向前邁進了一步。

兩者關系

1985年，德國數學家弗雷指出了谷山——志村猜想”和費馬大定理之間的關系；他提出了一個命題 ：假定“費馬大定理”不成立，即存在一組非零整數A,B,C，使得A的n次方 B的n次方=C的n次方（n>2），那麼用這組數構造出的形如y的平方=x(x A的n次方）乘以（x-B的n次方）的橢圓曲線，不可能是模曲線。盡管他努力了，但他的命題和“谷山——志村猜想”矛盾，如果能同時證明這兩個命題，根據反證法就可以知道“費馬大定理”不成立，這一假定是錯誤的，從而就證明了“費馬大定理”。但當時他沒有嚴格證明他的命題。

1986年，美國數學家裡貝特證明了弗雷命題，于是希望便集中于“谷山——志村猜想”。

完成證明

1993年6月，英國數學家懷爾斯證明了：對有理數域上的一大類橢圓曲線，“谷山——志村猜想”成立。由于他在報告中表明了弗雷曲線恰好屬于他所說的這一大類橢圓曲線，也就表明了他最終證明了“費馬大定理”；但專家對他的證明審察發現有漏洞，于是，維爾斯又經過了一年多的拼搏，于1994年9月徹底圓滿證明了“費馬大定理”。

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