計數問題是生活中常見的問題，在計數時，必須注意每個元素有且僅有一次記錄，既沒有重複，也沒有遺漏。一般情況下，我們會将所有元素全部計數一遍，之後再減去重複計數的部分，這就是容斥原理。

容斥原理的核心公式：

1、A∪B = A B- A∩B

2、A∪B∪C = A B C - A∩B - B∩C - C∩A A∩B∩C

通俗的來說：

1、兩集合條件下：元素總數=滿足集合1的個數 滿足集合2的個數-都滿足的個數

2、三集合條件下：元素總數=滿足集合1的個數 滿足集合2的個數 滿足集合3的個數-同時滿足集合1、2的個數-同時滿足集合2、3的個數-同時滿足集合1、3的個數 同時滿足集合1、2、3的個數

公式看起來十分的生澀，下面找幾個例題練習一下吧。

1、園丁小王負責給甲、乙、丙三個暖房澆水。已知甲、乙、丙三個暖房分别需要每隔2、4、7天澆水一次。小王在2019年1月1日給三個暖房都澆過水了，問他在整個1月份不需要澆水的天數有幾天？

分析：由于1月份共31天，數量不大，可以采取笨辦法窮舉法，如下圖所示。

從上表可知不需要澆水的天數為14天。不過這是一個典型的甲、乙、丙的三集合的容斥原理問題。需要澆水的天數=每隔2天需要澆水的甲暖房天數 每隔4天需要澆水的乙暖房的天數 每隔7天需要澆水的丙暖房的天數-同時給甲、乙澆水的天數-同時給甲、丙澆水的天數-同時給乙、丙澆水的天數 同時給甲、乙、丙澆水的天數=11 7 4-3-2-1 1=17天。因此不需要澆水的天數為31-17=14天。

2、外語學院某年級的135人中，同時會英語和法語的有31人，同時會英語和德語的有37人，同時會法語和德語的有16人，已知一部分人同時會三種語言，而另一部分隻會其中一種語言。請問至少有多少人隻會一種語言？

分析：同樣是一個三集合的容斥原理問題，但是題目中隻知道元素總數和同時符合兩集合的數量，但是隻滿足一個集合的元素數量和同時滿足三集合元素數量未知。假設有m人隻會一種語言，n人三種語言都會語言，關系見下圖：

我們可得：135=m 31 37 16-2n，這裡之所以減去2倍的n，是因為之前的（m 31 37 16）把三種語言都會的n重複加了3次，因此之後要減去2次。整理不定方程式得：m=51 2n，要使m最小，n應取最小值，已知“一部分人同時會三種語言”，因此n最小取1，此時m=53，因此至少53人隻會一種語言。

​

OK，今天就介紹到這裡，大家有沒有收獲呢，歡迎大家關注、收藏、點贊、評論，謝謝！

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!