它就是老大

不服來辯啊

老二拉格朗日中值定理（傳送門）登場的時候，通過留言超模君知道很多模友都猜中了老大，沒錯，就是 閉 域 套 定 理。

千呼萬喚始出來，猶抱域套半遮面，你知不知道，我等到花兒都謝了！

那麼，閉域套定理是如何擊敗夾逼準則和拉格朗日中值定理，登上污王的寶座呢？請看：

孫悟空拔一根猴毛，吹出5個小猴子

我們的閉域套定理也有這個技能，彈指一揮間，它就能變出（推出）五個小兄弟：單調有界定理、确界原理、柯西收斂準則、聚點定理、有限覆蓋定理。

所謂實數完備性六大基本定理，它們之間的互推成了數學專業考研的“噩夢”！

事不宜遲，現在就來揭開老大的神秘面紗吧。當然不是每個人都有這個權利，我們請來了能說會道的閉區間套（閉域套）先生，他給我們講了一個“有趣”的故事：

從前有座山，山上有座廟，廟裡有個老和尚和一個小和尚，有一天，老和尚對小和尚說：從前有座山，山上有座廟，廟裡有個老和尚和一個小和尚，有一天，老和尚對小和尚說：從前有座山，山上有座廟，廟裡有個老和尚和一個小和尚，有一天，老和尚對小和尚說.......(陷入無限循環中)

看似簡單的故事，實際上蘊含着閉域套先生的豐富内涵：

在故事開頭，山好比是第（1）個閉區間，廟好比是第（2）個閉區間，裡面兩個和尚就是閉區間（3）。老和尚對小和尚說的話中的山好比閉區間（4），話中的廟好比閉區間（5）……如此反複下去，到什麼時候才停止呢？

在上圖中我們可以看到，當閉區間一個套一個，會不會有某個閉區間的長度是0呢？也就是故事到此結束，這就戳中了閉域套先生的“累點”，他的确有這個性質。

既然出現了極限，超模君想，如果把bn-an單獨拆開，an的極限存在嗎？跟bn的極限又會是相等嗎？

讓我們的老大來告訴你，這不是tan90°，也不是56階單群（PS：56階單群是不存在的，所以這個梗跟tan90°是一樣的）。

換句話說，無論你的故事裡有多少座山，多少座廟，多少個老和尚還是小和尚，總有一個時刻，該故事會畫上圓滿句号，或者說故事必有結局。

到這裡，或許有模友就疑惑了：好好的閉區間，為何給它一個“閉域套”這麼污的名字？

這你就不懂老大了，正所謂白道黑道都有人罩，才是幕後的老大。

《瘋狂動物城》中的“老大”

老大的背後，可是被推廣成更龐大的定理：閉長方體套定理（3維情形也稱中國盒定理），閉球套定理，閉區域套定理，閉集套定理……

從簡單的閉區間套，到我們還可以想象的閉長方體套，閉球體套 ，再到難以想象的Rn上的閉區域套，超乎想象的完備度量空間上的閉集套，這中間經曆了多少風風雨雨，依然是一個套着一個，無論直徑怎麼變化，那個唯一的點，始終藏在燈火闌珊處。

就好比那個最真摯的人，哪怕生活多少變化，自始至終與你十指相扣，陪你慢慢地走向幸福的終點站。

看不懂這深奧的甜言蜜語？沒關系，來個戀愛例題練練手：

設一個男生正在追求一個女生。

他每次會為自己設定一個表白的最早時刻和表白的最晚時刻，且每次設定的最早時刻都比上一次設定的晚，每次設定的最晚時刻都比上一次設定的早。

如果每次所設定的這兩個時刻越來越接近直至幾乎重合，那麼該男生存在唯一的脫單時刻。

那麼，有了閉域套定理，就可以安全地和拉格朗日中值定理睡覺了！看看在床上的閉域套定理是怎麼推倒（推導）拉格朗日中值定理吧（單純點也可以理解為老大吹出的猴毛中有一根是老二）。

首先我們可以回想一下老二（傳送門），看看老二是長什麼樣的。

我們先給出一個引理：

超模君想通過圖像直接驗證，但是弄了好久，還是有誤差

最後決定放棄圖像法，用理論計算來證明吧（FBI WARNING：以下内容難度較大，涉及數學分析基本方法，需要大量思考）

我們構造一個函數：

這是啥呀！先别急，我們看看兩個特殊點的函數值

咦，這兩個點的函數值恰好是相反數！正是利用這個特點，我們分兩種情況讨論

Case 1：

動動手指頭計算一下，得到

這不就證明了麼~

Case 2：

這樣就證明完了我們需要的引理，怎麼樣，是不是很簡單？

有了這個引理，就可以很好地召喚閉區間套，來證明拉格朗日中值定理了！

反複利用這個引理，可以得到閉區間套{[an，bn]}，并且它們滿足下面三條性質（請記住第三條）

有了閉區間套，老大可以派上用場了，利用閉域套定理，必有

回想一下拉格朗日中值定理的前提條件，很容易知道

中途休息，我們來翻一下淑芬或高樹課本，回憶無窮小的知識點……

上面兩個式子相減，再同除以bn-an得到

好了，有了這個式子，離拉格朗日中值定理，也就是我們的老二不遠了，一瞪眼兒就可以看出等式右邊後兩項的極限為0（當然也可以留給聰明的模友們思考）

最後得到一個簡化版的柿子

不知道大家是否還記得上面閉區間套{[an，bn]}的第三條性質，這，這不就是老二了嘛！

證畢！

如果說，你是海上的煙火，我是浪花的泡沫……不好意思，唱錯台詞了！如果說老大沒有用到夾逼（老三）的思想，那就太天真了，老大可是包羅萬象的。

我們構造一個數列cn，稱它為小鮮肉，從出生那天（n=1代表一歲）開始，它就圍繞在父母（an和bn）愛的懷抱之下：

如果父母還為小鮮肉建立了一座溫室套房（{[an，bn]}是閉區間套），這時老大閉區間套定理和老三夾逼定理告訴我們：

小鮮肉cn的極限是存在的，并且和an與bn的極限是一緻的。雖然有一天小鮮肉會長大成大肥肉，想脫離父母的愛，但是他們做不到，始終心系孩兒，哪怕盡一份力，也要給予全部的愛。

到此為止，一下子把老二老三握在五指之中的閉域套定理，特别是證明老二的時候，閉域套定理使出了渾身解數。老大，它當之無愧吧！

本文系網易新聞·網易号“各有态度”特色内容

部分資料來源于網絡

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