本文為“第三屆數學文化征文比賽

溫故建構新知 論證生成巧思

——三角形的中位線定理的探究

作者: 王玉嬌 鄭 林

作品編号：020

【摘要】本文借助平行四邊形的對角線互相平分是三角形中位線定理的最近知識生長點，引出概念并建構模型探讨不同視角下的論證方法。進而通過古題新做打破固有思維、完成知識的吸收和内化。本文旨在提升學生的探究水平和知識的遷移能力。

現行人教版教材涉及三角形中位線定理的概念教學中缺少且内容銜接不夠自然。

【關鍵詞】中位線；平行四邊形；定理；論證；

數學是研究空間模型和數量關系的一門系統學科。而三角形的中位線既體現了線段的數量關系又體現了位置關系，本節課是數學之美的體現，也是承上啟下銜接各知識點間的橋梁。本文主要從三角形中位線定理概念的生成、定理的論證及知識的鞏固三個部分進行探究。現行人教版的初中數學把三角形的中位線定理放在18.1.2平行四邊形的判定（2）中來學習，體現了需要利用平行四邊形的知識來探究三角形中位線定理的設計意圖。但是教材和大部分教師在引入或者概念的生成部分的設計與平行四邊形是獨立的，内容銜接上不夠自然，且缺少探索發現該定理的過程。事實上三角形和平行四邊形是相互關聯的，這樣直接切入顯得生硬和知識的斷層。本文的創新之處在于，直接利用平行四邊形的一道習題變式作為引入，利用平行四邊形的性質順勢發現、提出、論證三角形的中位線定理，前後銜接過渡更加自然，而不必另辟蹊徑，創設更多陌生情境^[1]。

一、類比聯想獲新知：概念的生成過程

在三角形中位線定理的教學中，基于無法迅速優化教材，那身為教師可以選取一種策略作為教材與學生之間的銜接橋梁。在根據平行四邊形性質的關聯性增設中位線定理的發現過程中，激發學生的潛能和學習數學的興趣。激發學生的學習興趣不在于片面的追求新和怪，如果能從學生熟悉的原教材、舊例題中挖掘出具有啟發性的東西更能激發學生的求知欲。本環節立足于學生已有的認知，在此基礎上達到最近的發展區水平，這樣的教學設計更能激發學生獨自鑽研的主動性和發現數學知識間的環環相扣之美。

例題引入：如圖1，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，

（1）點O平分哪些線段？

（2）如圖2，當線段BD所在的直線繞點O旋轉，分别交線段AB，CD于點E、F,點O平分線段EF嗎？

（3）如圖3，在旋轉過程中，當點E為線段AB的中點時，我們可以得到那些特殊的結論？

結論：點F為線段CD的中點；從位置關系看EF//BC；從數量角度看。

（4）去掉圖3中平行四邊形ABCD的對角線AC右側部分的圖形，得到如圖4所示的三角形，則EO是連接△ABC的兩邊AB,AC中點的線段。像EO這樣，連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形中位線^[2]。

（5）探究：三角形的中位線有什麼性質？

從（3）中歸納得到定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半^[2]。

設計分析：本例題是平行四邊形的性質課時的經典拓展題，上節課學生通過平行四邊形的性質易證無論EF所在直線繞O點如何旋轉總有△AOE≌△COF，本節課繼續探究當EF所在直線旋轉成如圖3所在的特殊位置時能自然得出三角形的中位線定理。本例題不但實現了課時上和知識點上的銜接，而且實現了平行四邊形和三角形間的互相轉化，為後面定理的論證提供了輔助線的添加思路。同時讓我們明白對“舊”知識與“舊”例題的深入挖掘往往會有意想不到的驚喜。

二、探索碰撞生巧思：定理的論證過程

如何讓知識在思維裡生長？學生隻有在自我探索、實踐中不斷建構、優化、類比才能深刻體會三角形與平行四邊形間的相互轉化關系。我們借助三角形中位線定理的論證過程來繼續深化認知。本環節可以遵循分析思路——添加輔助線——進行論證三步原則進行。借助引課的例題分析從不同視角得出不同的論證方法。

（一） 論證視角：建構平行四邊形

如圖5，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中點，連接DE。求證：DE∥BC，且 。

方法一：（倍長中線模型1）如圖6，延長DE至點F，使EF=DE，聯結CF，可證△ADE≌△CFE，得到平行四邊形DBCF，因此得出DE∥BC，且。

論證思路：這種做法是結合已知和結論，運用綜合法，通過倍長線段，實現将倍分關系轉化為相等關系從而同時解決了數量和位置關系。

方法二：（構造平行模型1）如圖6，過點C作AB的平行線，交DE的延長線于點F ，仍然證兩個三角形全等，得平行四邊形從而得出結論.

設計分析：這兩種做法是學生比較容易想到的，而且出現的輔助線圖形一樣，但一樣的圖卻有不一樣的說法。它們通過倍長線段或作平行将倍分關系轉化為相等關系，其本質是一樣的，都是最終轉化為平行四邊形來解決問題.另外為學生今後證明線段平行積累了一種重要方法：要證平行，不僅可以依據角的數量關系，還可以依據平行四邊形的性質來解決.

方法三：（倍長中線模型2）如圖7，延長DE至點F，使EF=DE，連接DC，AF，CF，

論證思路：構造平行四邊形ADCF，從而進一步得到四邊形DBCF為平行四邊形，定理得證。

設計分析：前三種方法的實質都是将三角形問題轉化為平行四邊形來解決.上個單元研究平行四邊形時是用三角形知識解決的，而今天我們又利用了平行四邊形的知識解決了三角形的問題，體會相互轉化的數學思想方法。

方法四：（構造平行模型3）如圖8，取BC的中點F，連接EF并延長FE至點G，使EG=EF，連接AG。

論證思路：證△AGE≌△CFE，和四邊形ADEG、四邊形DBFE分别為平行四邊形，最後得出結論.

設計分析：這種做法其實和方法一的實質是相同的.更複雜的原因是重新構造了一條中位線EF，從而證得的是EF//AB,且。,此時關于中位線和第三邊的關系直接得到證明。

方法五：（構造平行模型4）如圖8，過點A作AG//BC,過點E作EF//AB,交BC于點F，交AG于點G，得到平行四邊形ABFG。

論證思路：易證△AEG≌△CEF，另證四邊形ADEG和四邊形DBFE分别為平行四邊形，從而定理得證。

設計分析：方法呈現之後，引導學生對五種方法進行比較，輔助線、思考問題方式、證明方法的不同，體會到各種證明方法的本質都是将三角形的問題轉化為平行四邊形的問題來解決.

（二）論證視角：古書的精華，先人的智慧

在數學教學過程中我們可以适當培養學生追本逐源，探究問題來源，刨根問底的優良數學品質，而考察問題的本源和發展曆史是最行之有效的方法。《九章算術》和《幾何原本》是古代中西方數學史上的兩個重要代表作品，接下來我們來看看兩大著作對三角形中位線的論證。

方法六：（歐幾裡得之“面積法”）古希臘數學家歐幾裡得在其著作《幾何原本》中，證明三角形中位線定理的方法是：将線段之間的關系轉化為三角形面積之間的關系，再将三角形面積之間的關系轉化為直線的位置關系^[3]。

如圖9，在△ABC中，點D、點E分别是線段AB、線段AC的中點，連結BE和DC，因AD=BD，AE=EC，故,于是得故得DE//BC。另一方面，因為

方法七：（劉徽的“割補法”）我國魏晉時期數學家劉徽在《九章算術注》中通過割補法的來推導三角形中位線定理，其方法是：連接兩腰中點（中位線）,過頂點作中位線的垂線，将中位線上方的小三角形分割成兩個小直角三角形，分别将它們補到相應位置（圖10），得到一個矩形，故矩形的長為原三角形的底，則中位線與底邊平行，且等于底邊的一半^[3]。

問題：（觸類旁通）

1、觀察圖10，你還有其它類似的方法嗎？（如圖11利用割補法構造矩形）

2、如果不是做高線，而是在DE上取任意點H，連接AH，你能借用劉徽的割補法來證明嗎？（如圖12構造平行四邊形）

在教學中融入中位線定理的曆史證明方法，學生在追尋曆史足迹的過程中，可以感受數學學科深厚的文化底蘊，感受中西方數學家為數學學科發展做出的卓越貢獻，近代教科書中還出現了“同一法”“反證法”等，因篇幅原因不做擴展。

用多種方法來論證三角形的中位線定理，不僅能夠鞏固所學到的認知，通過一題多解，分析比較，觀察方法之間的差異性，能夠培養學生的創造性思維。一題多解其精華不在于“多”而在于歸納。我們在發散思維之後觀察到我們的解法可以分成同質異形和異質同形兩類。比如在論證中發現不同的構造方法實質都是将三角形問題轉化為平行四邊形的問題，這就是“同質異形”；同樣的構造方法不同的思維角度，這就是“異質同形”。引導學生将上述的證法進行對比、歸納讓學生吃透題型從而學會舉一反三.

三、古題新做固認知：知識的鞏固過程

三角形的中位線定理最早在古籍中出現是用于土地分割問題。在古巴比倫泥版上的故事：在古代兩河流域，有四位兄弟幸福和睦地生活着，而父親去世打破了四兄弟平靜的生活，他們為分割父親留下的一塊土地而争論不休，誰都不肯吃虧。已知土地為三角形形狀，請你利用所學的數學知識設計土地分割方案，并給出方案的理論依據，以此說服四兄弟接受方案^[4]。

如圖13-圖18所示，通過構造三角形的中線和中位線得到六種不同方法。在構造過程中可以借機辨析三角形中線與中位線的概念如圖19、圖20。引導學生從數量、位置、性質及構造圖形的角度分别闡述三角形的中線與三角形中位線的不同之處。

如圖19，任意三角形都有三條中線，它們在三角形内部且交于一點，且平分面積。如圖20，任意三角形都有三條中位線，中位線EF，DE和DF把原三角形分成四個全等三角形，即△AEF≌△EBD≌△DFE≌△FDC；三條中位線與原三角形構成平行四邊形AEDF，平行四邊形EBDF，平行四邊形EDCF。

古代兩河流域的數學家們其實最早研究的是平行線分線段成比例定理，而三角形的中位線定理不就是其中的特例嗎。聰明而樸素的古人們在生産生活中發現了定理，最終證明并把它運用到實踐中去，體現了我們數學模型來源于生活又服務于生活的宗旨。

四、意猶未盡話教學：探究後的幾點思考

（一） 思之美——在于俯瞰全局

三角形中位線定理的證明及應用過程中，滲透了類比、轉化、歸納等數學思想，其中類比是幾何學中重要的思想方法，天文學家開普勒曾說過：我珍視類比勝過任何别的東西，它是我最信賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學裡，它是最不容忽視的^[5]。類比思想在學生的後續學習生涯乃至其它學科的研究都有着重要的作用，它對拓展學生的思維有着積極的意義．

（二）師之慧——在于精益求精

幾何作為初中數學的重要組成部分，其教學應着眼于如何提高學生的核心素養。教師應站在一定的知識高度上俯瞰全局，尋找學生新知的出發點和最終落腳點，架構它們之間的最佳路徑。基于三維目标的高度來設計教學方案，并注意各知識點間的關聯和整合最後實現了學生學習能力的提升和綜合素養的增強。教師在不斷研究和探索過程中敢于打破常規、尋求真理并體驗教學成功的樂趣。

（三）史之趣——在于文化傳承

本課抓住概念生成，論證探究，古題新做這三條主線，并且在這三個過程中自然滲透古今中外關于三角形中位線定理的探究曆史。不論是歐幾裡得的“面積法”與劉徽的“割補法”都向我們展示了圖形之美、建構之妙。在這樣的教學下我們師生共同感受到了數學的博大精深和曆史悠久，這麼優秀和多元化的知識需要我們代代薪火相傳并且發揚光大！

【參考文獻】

[1] 吳增生.三角形中位線定理教材設計之我見[J].中國數學教育(初中版),2018(12):3-5,10.

[2] 義務教育教科書.數學.八年級.下冊（2013.9版）[M].北京：人民教育出版社，2019.（11）：47-49.

[3] 李霞,汪曉勤.三角形中位線定理的曆史[J].數學教學月刊,2016(9):58-60.[4] 李鐵,嚴達強,張曉斌.數學史有效融入課堂教學的若幹思考[J].中學數學教學參考(中旬),2020(8):17-20.

[5] 行川.類比與猜想[J].時代數學學習：8年級,2006（5）.

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