你有沒有想過，凸函數的定義不等式，竟然可以派生出無窮無盡的不等式。隻要你的腦洞足夠大，所有不等式都可以從中派生出來，當然也包括那些世界聞名的不等式。甚至有可能派生出新的重要不等式來。

凸函數的定義不等式的定義不等式有兩個形式。一個是上凸函數的定義不等式，一個是下凸函數的定義不等式。它們的不等号方向正好是相反的。

上凸函數比如自然對數函數y=lnx，a小于0的二次函數y=-x^2等。上凸函數的定義不等式描述的是，曲線上任意兩點間的任意點，都在經過這兩點的割線上豎直對應點的上方。用不等式表示為：f(λx1 (1-λ)x2)≥λf(x1) (1-λ)f(x2)。

下凸函數比如e的指數函數y=e^x，a大于0的二次函數y=x^2等。下凸函數的定義不等式描述的是，曲線上任意兩點間的任意點，都在經過這兩點的割線上豎直對應點的下方。用不等式表示為：f(λx1 (1-λ)x2)≤λf(x1) (1-λ)f(x2)。

x1, x2就是曲線上的任意兩點的橫坐标。λ是小于1的正數。

那你有沒有想過，任意凸函數都會有它自己的定義不等式。比如：對任意實數a,b, 有e^((a b)/2)≤(e^a e^b).

它其實是對下凸函數y=e^x的定義不等式的一個直接運用。a, b是曲線上任意兩點的橫坐标，這裡取λ=1/2. 對它的證明自然是輕而易舉的了。由于y=e^x是嚴格上凸的，所以這裡當且僅當a=b時，才取不等式的等量關系。

而當a,b取不同的值時，就會産生無窮無盡的不等量關系。

比如：根号e<(1 e)/2, e^2<(e e^3)，e^0.2<(e^0.1 e^0.3)/2, e^(-1)=(e e^(-3)),……

相信隻要你稍一動腦筋，就會發現，上面這一系列的不等式，隻是均值不等式的一些特例。不過并非所有的凸函數派生出來的不等式，都是均值不等式的特例。比如：對任意非負實數a,b, 有2arctan((a b)/2)≥arctana arctanb.

反正切函數y=arctanx與y=e^x在凸性上有很大的不同，y=e^x在R上是嚴格下凸的，而y=arctanx則在非負區間嚴格上凸，在非正區間嚴格下凸。在這方面，y=arctanx由定義不等式，可以直接派生出兩個不等式。包括對任意非正實數a,b, 有2arctan((a b)/2)≤arctana arctanb.

同樣當僅且當a=b時，才取它們的等量關系。也同樣的，當a,b取不同的值時，也會派生出更多不一樣的不等式，比如：arctan(a b)≥(arctan(2a) arctan(2b))/2, (a,b非負).

甚至，如果凸函數的定義公式派生出來的不等式，與其它不等式結合起來，就有可能派生出更多不一樣的不等式來了。比如，上面提到的不等式e^((a b)/2)≤(e^a e^b)，如果結合不等式e^x≥1 x，就可以派生出不等式：1 (a b)/2≤(e^a e^ b)/2.

加上各個凸函數派生出來的不等式之間也可以互相結合。因此，老黃有理由相信，所有的不等式，都可以在這個體制下派生出來。隻是老黃的腦洞還不夠大。目前還沒有更重要的發現而已。老黃不行，不代表你不行哦。大家一起來努力，說不定會有意外的驚喜哦。

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