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圓内接四邊形的對角互補證明

圖文 更新时间:2025-02-07 15:50:40

假定在一個圓的内接四邊形中,其中一條對角線與外接圓的直徑重合。證明四邊形兩個對邊在另一個對角線上的投影是相等的。即AC是直徑,求證DE=BF

圓内接四邊形的對角互補證明(圓内接四邊形一個對角線是直徑)1

證法一:延長CE到圓上另一端為G,延長AF到H, 連接CH和AG, 顯然∠AHC=∠CGA=90°,又因為CG∥AH,所以△AGC≌△CHA, 因此GC=AH,根據對稱性,可以證得DE=CF。(可以想象沿着過O平行于CG的直徑對折所存在的對稱)

圓内接四邊形的對角互補證明(圓内接四邊形一個對角線是直徑)2

證法二:劃OP垂直于BD,垂足為P,P為弦BD的中點。 由于AO=CO, 它們在BD上的投影是EP和FP也應該相等(最簡單的證明是用半徑乘以對頂角的餘弦值是相等的),即EP=FP。

等量減等量,仍然相等,所以DE=CF。

圓内接四邊形的對角互補證明(圓内接四邊形一個對角線是直徑)3

PS:關于圓内四邊形的幾何題有很多性質,對于面臨中考的同學要學會總結,比如蝴蝶定理見蝴蝶定理的證明,同弧圓周角等,四點共圓定理等。

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