考慮積分 int_{1}^{infty}frac{dx}{xln(x)} 發散,所求級數顯然被該積分值控制。中世紀後期的數學家Oresme在1360年就證明了這個級數是發散的。他的方法很簡單:1+1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...注意後一個級數每一項對應的分數都小于調和級數中每一項,而且後面級數的括号中的數值和都為1/2,這樣的1/2有無窮多個,所以後一個級數是趨向無窮大的,進而調和級數也是發散的。
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