在這篇文章中，我想讨論一個來自瑞典數學奧林匹克競賽的一個問題。該問題如下。

找到所有整數n，使得：

我們一般用ℕ表示自然數的集合，用ℤ表示整數的集合。因此，我們可以把這個問題改寫成：

找出所有n∈ℤ，滿足下式：

我強烈建議你們自己嘗試解決這個問題。我概述了我在解決這種形式的問題時總是問自己的三個問題。這些問題的目的是試圖縮小可能的解的範圍。

問題1：是否有任何n值我們可以立即排除，因為會導緻某些數學錯誤？

每當面對任何需要尋找一組解的問題時，這總是我問自己的第一個問題。這将有助于我們排除不可能的解，因為它們會導緻某種數學錯誤。這些錯誤包括：除以零，取負數的平方根，以及取負數的對數等。由于我們的變量：

并不太複雜，唯一對我們有用的是我們不能除以零！所以我們需要确保避免 "除以零"。唯一導緻除以0的n值是n=7。所以，我們确定n≠7。誠然，這并沒有使我們這次的搜索範圍縮小很多，但這總是一個很好的第一步。

問題2：是否有任何n的值是我們可以立即排除，因為它們不在我們解集中？

我們想找到n∈ℤ的值，以使：

因此，如果有任何n∈ℤ的值能明顯導緻

不在自然數集中，我們就可以立即将其排除。

考慮到這一點，請注意：

所以，如果n<7，那麼：

因為指數是負數。因此，從問題1和問題2中我們知道，如果n≤7，則不滿足條件，所以我們将把搜索範圍限制在n≥8。

問題3：是否有任何你還沒有使用的信息可以幫助你進一步縮小搜索範圍？

在這個問題的這個階段，我建議利用你尚未使用的任何信息來進一步縮小可能的解的集合。但在這個問題上，我們已經使用了所有的信息，但仍然沒有解決問題，我們該怎麼辦呢？有兩個選擇。要麼你有處理類似問題的經驗，知道一些技巧，要麼你隻能使用數學家的萬能方法了。沒錯，這就是數學的秘密，所有數學家在陷入困境、前路被黑暗籠罩時使用的方法。

讓我們制作一個表格，看看我們是否能發現一些規律。你可能發現不了，或者，如果規律确實存在，你将不得不羅列出前1000項，甚至數千萬項。在這種情況下，我們隻能求助于計算機了。

現在，考慮到這是一套數學奧林匹克競賽的問題，不需要羅列很多項就能發現這個規律，所以讓我們試試。

我們注意到，當n=8和n=9時，都是符合要求的。

此外，n=10、11、12、13、14都不滿足要求，因為：

你可能已經開始看到這裡的規律了。随着我們對n的取值的變大，2的幂增長得太快了，永遠不會有一個n∈ℤ的值，n≥10，使得：

特别是，我們注意到，對于n≥11。

因為它被在1和2之間。因此，唯一的解将是n=8和n=9。

現在你可能覺得這很清楚，但數學需要證明，所以我們需要證明我們的結論。我們已經證明了n=8和n=9是解，我們隻需要證明它們是唯一的解即可。要做到這一點，我們要證明對于任何n≥10的情況，我們都無法得到一個解。我們首先注意到n=10不是一個解，我們在上面的計算中證明了這一點。接下來我們證明，對于n≥11的情況，我們無法得到一個解，原因正是我們上面給出的。特别是，我們證明，對于n≥11。

所以不可能是一個自然數。對于n≥11：

所以我們實際上隻需要證明對于n≥11：

讓我們試着讓這個不等式變得更漂亮一點。整理得到：

有很多方法可以證明這一點，我将使用歸納法。證明過程如下：

第一步：證明第一條陳述是真的。對我們來說，第一條陳述是當n=11時：

第二步：證明命題k是真的前提是命題k-1是真。另一種說法是，假設k-1是真，證明k是真。

現在讓我們來應用這個方法。回顧一下，我們想證明，對于n≥11：

第一步：我們證明對于n=11來說是真。實際上，我們已經在上面證明了這一點，但我們還是再做一次吧。将n=11帶入，得到：

這當然是真。

第二步：我們假設(2^7)(n)<2^n這句話對n=k-1來說是真的，并以此證明它對n=k是真。我們假設：

并利用這一點證明：

因此，從

最後我們注意到，由于k-1≥12：

因此：

這就是我們想要證明的東西。因此，利用歸納法，我們已經證明了我們的結果是真的，反過來也證明了n∈ℤ的唯一值，即：

是n=8和n=9。

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