學過泰勒公式的朋友應該知道，多項式的泰勒公式其實就是它本身，但是如果要證明，卻未必是一件容易的事情哦。老黃在這裡就準備挑戰這個看似無聊的證明。證明過程中，卻可以對泰勒公式的本質，有一個更深入的理解。

這裡所指的泰勒公式，是帶有拉格朗日餘項的泰勒公式，因為，這是一個定量公式，定量才能比較大小。帶有拉格朗日餘項的泰勒公式的一般形式如下：

f(x)=f(x0) f'(x0)(x-x0) f"(x0)(x-x0)^2/2! … f^(n)(x0)(x-x0)^n/n! f^(n 1)(x0)(x-x0)^(n 1)/(n 1)!. 其中Rn(x)=f^(n 1)(ξ)(x-x0)^(n 1)/(n 1)!稱為拉格朗日餘項。

設多項式的一般形式為Pn(x)=a0 a1x a2x^2 …… anx^n. a1, a2, …,an為常數，其中n雖然可以非常大，但并不是無窮大，而是一個定值。

在老黃的系列視頻《老黃學高數》第185講中，已經證明了泰勒多項式的系數Pn^(k)(x)/k!=ak, k=0,1,2,…,n。又Pn^(n 1)(0)=0. 最後這一點非常重要，因為它保證了拉格朗日餘項等于0，使得“多項式的泰勒公式是本身”變得有可能。

不過，這裡我們想要證明Pn(x)在任意點x0的泰勒公式都是它本身，還是非常麻煩的，所以我們先退而求其次，證明Pn(x)在x0=0的泰勒公式，即麥克勞林公式是它本身。

由Pn'(0)=a1, Pn"(0)=2a2, …, Pn^(k)(0)=k!ak, k=1,2,…,n，将各階導數代入麥克勞林公式，就有：

Pn(x)=Pn(0) Pn'(0)x Pn"(0)x^2/2! … Pn^(n)(0)x^n/n! 0=a0 a1x a2x^2 …… anx^n.

這就證明了多項式的麥克勞林公式是它本身，并不是老黃的最終目标。老黃仍要嘗試證明多項式的泰勒公式是它本身。注意，下面這個證明過程相當燒腦，希望您能夠看得明白。

記y=x-x0, Pn(x)必可以寫成另一個多項式Qn(x-x0)的形式，就等價于Qn(y)。而且Qn(y)在y=0的任意階導數，會等于Pn(x)在x=x0的任意階導數。這裡的x0是任取的。

寫出Pn(x)在x0的帶拉格朗日餘項的泰勒展開式，同時也是Pn(x)的泰勒多項式：

Tn(x)=Pn(x0) Pn'(x0)(x-x0) Pn"(x0)(x-x0)^2/2 … Pn^(n)(x0)(x-x0)^n/n!, 轉換成關于Qn(y)的展開式，得到的就是麥克勞林展開式：

Qn(0) Qn'(0)y Qn"(0)y^2/2 … Qn"(0)y^n/n! 0，上面已經證明多項式的麥克勞林展開式是它本身，所以結果等于Qn(y)，又等于Pn(x)，從而得證！

隻要您能看明白這個證明過程，泰勒公式的知識，對您來說，就不再有任何難度了。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!