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圓錐怎樣形成橢圓

生活更新时间:2024-11-28 13:32:54

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扯閑篇兒

圓錐怎樣形成橢圓（為什麼斜切圓錐可以得到一個橢圓）1

為什麼斜切圓錐可以得到一個橢圓

圓錐怎樣形成橢圓（為什麼斜切圓錐可以得到一個橢圓）2

橢圓的定義

平面内到兩個定點的距離之和等于常數的點的軌迹叫做橢圓。兩個定點叫做橢圓的焦點。

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橢圓的另外兩個定義

說到橢圓，很多人最先想到的是：一個被拉伸的圓叫做橢圓

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另外一種關于橢圓的定義是：

斜切一個圓錐，且切的角度小于圓錐的斜面角度，圓錐面和截面相交所得到的曲線就是橢圓

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為什麼斜切圓錐可以得到一個橢圓

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我們先說說為什麼第二種定義方式和橢圓的标準定義是等價的

圓錐怎樣形成橢圓（為什麼斜切圓錐可以得到一個橢圓）7

想證明這兩種定義等價，我們要證明的是：在切面上一定能找到兩個點，它們到曲線上任意一點的距離之和不變

這裡展示在Paul Lockhart所著的《度量》一書中的一種證法

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首先，在切面上下引入一個球體，使它們與圓錐面相切于兩個圓，并各與切面切于一點

如下圖：

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看到這裡，如果你有思路了，先不要往下翻，可以自己先想一想

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一個合理的猜測是，這兩個切點就是它的焦點

是這樣嗎？

是的

我們知道，圓錐的所有母線都相等

由此易得，相切所得的兩個圓在圓錐的母線截得的線段（即上圖中的白線）都相等

那這兩個切點到曲線上的點的距離與白線的長度有什麼關系呢

圓錐怎樣形成橢圓（為什麼斜切圓錐可以得到一個橢圓）11

我們知道：過圓外一點所作的圓的兩條切線長相等

初三教材上的證明方法是可以直接用在球體上的，這個插圖不太好畫，證明過程很簡單，這裡就不寫出來了

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由此，我們知道，上圖中，相同顔色的線段相等。

所以，兩個切點到曲線上任意一點的距離之和等于兩個圓在圓錐的母線上截得的線段的長度，而線段的長度都相等

因此，所截得的曲線就是橢圓，其焦點為兩個球與切面的切點，兩焦點到橢圓上任意點的距離等于兩圓之間的距離不變

同理可證，斜切圓柱體也可以得到一個橢圓

圓錐怎樣形成橢圓（為什麼斜切圓錐可以得到一個橢圓）13

這樣截得的橢圓又可以看作一個圓(圓柱截面)在平面上的平行投影，其投影線與圓垂直，而不與投影面垂直

這就是為什麼很多人對橢圓的印象是個被拉伸過的圓

事實上，關于同一事物的定義可以有很多種。關鍵在于證明它們之間是等價的，即證明這些定義所定義出來的東西都擁有相同的性質

圓錐怎樣形成橢圓（為什麼斜切圓錐可以得到一個橢圓）14

視頻截圖來自3b1b

完

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