很多人都聽說過“現代數學分成代數、分析、幾何”三大塊這種說法。其實這種說法并不準确。數學并不是像生物學分類那樣，按照界門綱目科屬種那樣能夠嚴格地分出不同層次的分界線。現代數學不同領域的差異當然存在，但是這些領域的邊界線則犬牙交錯，交叉的地方并不清晰。而且某個領域使用其他領域的方法和定理也是很常見的事情。

那麼，我們首先簡單介紹一下三大方法論大緻是個什麼“取向”，給對數學有興趣的初學者一點感覺：

代數：以線性代數、抽象代數為基礎，研究各種代數結構，比如最常見的群環模域線性空間，李代數，以及不那麼常見的高階同倫代數（homotopy algebra）等等。代數的一個基本特征是對稱性。一般來說，某個數學對象（比如說拓撲空間）如果具備某種代數結構（比如拓撲空間上面有同調群），那我們就可以利用這種代數結構的已知結果，來反過來研究、“探測”那個數學對象。這是代數影響其他數學分支的一個基本模式。

分析：以廣義的微積分（比如實分析複分析調和分析等等）、微分方程理論、泛函分析等為研究工具，對函數、方程等“可以求導”的東西進行精細的分析（比如不等式估計等等），的一種方法論。分析大緻可以分為軟分析和硬分析。個人的觀點是，軟分析有點像定性的分析，比如泛函分析裡各種結論，比如一個函數空間緊嵌入到另一個函數裡，不需要知道到底怎麼嵌入的，就可以依據緊性推導出一些結論。而硬分析則有點像定量的分析：每個常數，跟哪些量有關，具體是怎麼個相關法（多項式依賴？指數依賴）？這些常數具體是多少，能不能做到最優，最優常數是多少？用一列東西去逼近一個東西，誤差項大概有多大？誤差項是什麼階數（多項式（幾次多項式？）？多項式乘以對數？）？能不能把bound放大或者縮小，直至最優？ etc.

幾何（與拓撲）：主要關注幾何對象與拓撲對象。幾何與拓撲的區别在于，拓撲比幾何更“軟”，更flexible，幾何是在拓撲空間上加額外的結構（度量結構、複結構、辛結構，或者這種結構的“組合結構”，比如Kahler結構，等等）。拓撲關注的一個重要對象是拓撲不變量，比如同調上同調、同倫群、K理論等等。幾何可極粗略地分為微分幾何與代數幾何——微分幾何主要關心曲率等，代數幾何主要關注代數簇、scheme等等的各種“代數性質”（“代數”這個形容詞可以粗略理解為隻跟多項式有關）以及我不懂的各種東西（這個話題抱歉我沒法聊，懂的太少。。）。

當然除此以外還有其他一些方法論，比如概率論（其實可以放在廣義的分析框架裡面，但是研究的方法、看待問題的角度還是有獨特的地方）、組合、數理邏輯等等。

我一開始說三大方法論不是完全分割的，相互之間互有聯系，下面舉一些例子來說明：

有些人可能覺得分析就是搞搞不等式估計、求求導積個分什麼的，用不到多少代數。其實也不一定。PDE很多時候都有對稱性，這些對稱性很多時候能簡化問題。（李當初發明李代數的目的可是拿來解微分方程的，他想用李代數來刻畫方程内在的infinitesimal symmetry）。調和分析自然地和表示論有聯系。另外再說一件事。我在本系聽deformation theory seminar的時候，有個人講到PDE裡面蘊含了一些homotopy algebra的結構，然後他做了一些對這種代數結構的研究。目前有價值的PDE基本都來自于“大自然”，比如來自物理或者來自幾何。這些被大自然挑選出來的方程，裡面可能本身就蘊含了一些内在的結構，使得他們相對于人類随便亂寫的一個方程更容易處理。

代數幾何當然和代數有深刻的聯系。這方面就舉一個例子，Kodaira embedding theorem. Kodaira embedding是從Kodaira vanishing＋指标定理（HRR） 推出來的，Kodaira vanishing是說positive line bundle做某種twist以後的高階上同調全部為0，算是一個（同調）代數結論。Kodaira embedding是說對緊Kahler流形，positive line bundle和ample line bundle是一回事，而ample line bundle能把這個流形嵌入到某個CP^N裡面，算是一個幾何結論。這就是一個“同調代數應用于幾何學”的例子。

微分幾何裡面也有代數。微分幾何裡面holonomy group之類的東西和李群、表示論都有着千絲萬縷的聯系，spin structure，Clifford algebra這些東西都算是代數的方法論應用于幾何學（以及拓撲學）。

純代數裡面很多東西都可以翻譯成代數幾何的語言。比如Galois theory可以翻譯成代數幾何裡面的etale cover（具體是什麼不要問我，我就随便一說）。

比如p-adic analysis，差不多是模仿複分析的方法，在p-adic field上做分析。另外我們有著名的GAGA原理，複代數幾何和複微分幾何某種意義上可以看成用不同的方法論研究同一個對象，很多時候能得到相同的結果。

OK，說了這麼多。。最後再說一句：數學專業的低年級本科生們，如果以後打算做數學研究的話，學專業課的時候不要抱着“我以後做代數所以不需要認真學分析”或者“我以後學分析所以沒必要好好學抽代”之類的想法。在力所能及的範圍内，盡量多學點東西。本科那些知識，都是各個分支的common knowledge，你現在可能覺得某些知識和你感興趣的東西毫不相幹，但也許以後你學得更深入的時候，它們就突然出現了。

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