課前慎思

“3的倍數特征” 是新世紀小學數學（北師大）五上第三單元中的内容，這一課編排在"2，5的倍數特征” 之後。學習 2，5的倍數特征時，學生經曆了觀察、猜測、分析、驗證等方法探究特征的過程，具有了一定的認知經驗，教材的編排仍然借助百數表讓學生探究3的倍數特征，希望繼續發展分析、比較、猜測、驗證的能力。

那麼，對于"3的倍數特征＂，學生又會如何的思考呢？我們采用紙筆測試和詢問的方式對40名學生進行了前測。

題目1：我們已經學了 2，5的倍數特征，3的倍數特征是怎樣的呢？學生的回答如下：

再詢問出現答案四的孩子：“你怎麼就想到可以用數字之和來判斷？＂ 孩子回答：“家長告訴我的。” “我從課外書了解到的。” “預習了數學書。” ……

題目2：4512是3的倍數嗎？

小明說：可以用4512÷3，看4512能否被3整除進行判斷。

小剛說：還可以用（4 5 1 2= 12, 12÷3=4）來判斷。

對他們倆的說法，你有什麼看法？

100%的孩子都肯定了小明的方法。90%的孩子否定了小剛的方法，原因是千位、百位、十位、個位上的數字不能加在一起，它們的計數單位不同。

由此可知，孩子們具有直接根據個位或者十位上的數字特點尋找倍數特征的經驗，但是這些經驗不足以支撐很快找出3的倍數特征。如何讓學生突破已有經驗的局限性，真正理解為什麼各個數位上的數字之和是3的倍數，這個數就是3的倍數？以怎樣的過程引導學生來深刻地經曆和體驗？我們嘗試用幾何直觀百格圖來突破。

課堂實錄

Part 1：沿循“舊”路，改造經驗

杜威曾說，教育即經驗的連續不斷地改造。3的倍數特征利用找尋2，5的倍數特征經驗去進行，顯然行不通，如何讓學生從經驗中産生新問題，而問題又激發他們探索，從而産生新的經驗呢？大膽放手，留足探究的時空，讓學生由此及彼、由淺入深，在思維的碰撞，相互的辨析、質疑的過程中完善認知，生成新的經驗。

師：同學們，我們今天研究3的倍數特征，你們先不妨猜想一下，3的倍數可能有怎樣的特征？

生1：我認為3的倍數個位都是3，6，9。

生2：不對，像13，16，19，…這些數就不是3的倍數。

生3：我在百數表裡找出了3的倍數，發現個位上0～9這些數字都出現過。

師：是呀，個位上的數字沒有規律，怎麼辦呢？

有學生小聲嘀咕：“十位上的數字也沒有規律哦。”課堂沉默了一段時間。

生4：我認為十位上的數字和個位上的數字加起來如果是3，6，9的話，就是3的倍數。大家請看：在10～20以内，12，15，18的十位上和個位上的數字和是3，6，9；繼續看20～30以内，21，24，27這些數的數字和也是3，6，9；再看30，33，36，…

全班響起了熱烈的掌聲，大家肯定了生4的觀點。

生5：我有一個問題，如果這個數不是兩位數，而是一個更大的數，比如1278，34656，…用這個規律怎樣判斷？

師：生5特别愛動腦筋 ，敢于質疑，其他同學還有什麼想法呢？

生6：我認為所有數位上的數字相加的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。比如345，3 4 5=12，12是3的倍數，所以345也是3的倍數；再如1278,用 1 2 7 8=18，18 是3的倍數，所以1278也是3的倍數。

師：這個規律可行嗎？請大家舉一些例子再證明一 下。

大家忙着再用正例和反例驗證，最終發現：各個數位上的數字和是3的倍數，這個數就是3的倍數。

生7：我有疑問，每個數位上的數字表示的意義不一樣，怎麼能夠加在一起呢？比如，1278代表的是1個千、2個百、3個十、8個一，計數單位不一樣，怎麼能把這些數字相加呢？

師：真是愛動腦筋的孩子，不僅要知其然，而且要知其所以然。

Part 2：探尋真相，以 “形”解數

著名的數學家華羅庚說，數缺形時少直觀，形缺數時難入微。在孩子們的認知結構中，不同計數單位的數表示的意義不一樣，是不能直接相加的，為什麼在3的特征概述中可以把各個數位上的數字相加求和，原理何在？教師借助百格圖，讓學生在操作中體驗，在對比、觀察、類推中明理，弄清問題的實質。

師：生4和生6的發現到底有沒有價值？咱們借助百格圖來看看吧。（出示圖1）誰來對照圖說一 說，10為什麼不是3的倍數？

生1：3個一組，分完3組還餘 1個，所以10并不是3的倍數。

師：同學們的意思是分完9個，餘1個，用算式表達10=1×9 1，可以嗎？

生1：當然可以呀。

師：如果是20呢（如圖2）？分完後用算式怎樣表達？

生2：20=2×9 2。

師：如果是30呢（如圖3)? 像這樣分下去，用算式怎樣表達？

生3：30=3×10。

生4：還可以30=3×9 3。

師：同學們利用百格圖，像這樣邊分邊寫出算式，自己試一試。

學生寫下如下算式：

40=4×9 4

50=5×9 5

60=6×9 6

......

師：同學們，根據你分的過程和寫出的算式進行觀察，你們發現了什麼？

生1： 用幾個十來分就會餘幾個一。

師：還有什麼發現？（有意識地将餘數與十位上的數字指點一下，引導學生觀察 ）

生2：十位上的數字是幾 ，餘數就是幾 。

生3：當餘數是3的倍數，這個數就是3的倍數。

師：厲害，同學們都有一雙發現的眼睛。如果100，像這樣每3個一組來分，餘數是幾呢? 200，300呢？

學生寫下如下算式：

100=11×9 1

200=22×9 2

300=33×9 3

......

生：如果是整百數，百位上有幾個百，餘數就會餘幾個一。

師：通過剛才的圈一圈、寫一寫、看一看的活動，同學們體驗到了整十、整百數除以3的餘數特點。那如果這個數是整千、整萬的數呢？

闆書：

1000=111×9 1

2000=222×9 2

......

生：依此類推，哪個數位上是幾 ，分了之後就會餘下幾個一。

Part 3：深入探究，明晰本質

借助幾何直觀讓學生意識到3的倍數特征背後隐含的道理，不同數位上的數字之和實際上轉化成每個數位上餘下來的幾個一的和，每個數位上餘下來的幾個一的和正好對應着各個數位上的數字和，這樣的轉化過程看起來很複雜，但數學的簡潔和抽象恰好掩蓋了最本質的原理，直面學情，化解疑惑，隻有回到認識的起點，層層剝筍，還原概念的真相，才能促進學生真正理解。

師：如果這個數不是整十、整百、整千……的數，又是什麼樣的情況呢？

出示下圖：

師：借助（圖4）分析一下22為什麼不是3的倍數。

生1：22裡面有2個十、2個一。2個十分完後餘下2個一，餘下的2和個位上的2合在一起是4個一，4個一分了之後，還餘1個，所以22不是3的倍數。

師：借助圖（5）說一說54 是3的倍數嗎？為什麼？

生2：54裡面包含5個十和4個一。5個十分完後還餘下5個一，餘下的5個一和4個一合在一起是9個一，9個一正好分完沒有餘數，所以54是3的倍數。

師：同學們再看（圖6）135，是3的倍數嗎？為什麼？

師：我們把上述分析的過程用表格的形式簡單整理一下（如下）：

師：請你列舉一些其他的數，像剛才那樣說一說是不是3的倍數，為什麼。

學生列舉了一些更大的數相互說一說，進一步完善了表格。

師：同學們，從整理的表格中大家發現了什麼？

生1：哪個數位上是幾就會餘下幾個一，餘下的幾個一合在一起，如果和是3的倍數，這個數就是3倍數，否則就不是3的倍數。

生2：我認為，餘數和是3的倍數，這個數就是3的倍數。

生3： 我發現餘數和就是各數位上的數字和。

師：同學們有這麼多的發現，真是了不起！通過分一分的活動，我們發現各數位上的餘數和是3的倍數，這個數就是3的倍數這個道理。大家還把餘數和與這個數各個數位上的數字和聯系起來思考了，進一步說明3的倍數特征是什麼？

生4：每個數位上的數字之和是3的倍數，這個數就是3的倍數。

師：為了方便快捷，我們判斷3的倍數就不用去尋找餘數和，直接找到各位上的數字和就可以了。

師：同學們，你現在能解釋“為什麼每個數位上的數字表示的意義不一樣，能夠加在一起了嗎？”

課後反思

《3的倍數特征》這節課，很多老師感覺不好上，究其原因：一是沒有2，5的倍數特征明顯，學生的已有經驗派不上用場；二是用數學語言描述特征很困難；三是不能理解各個數位上的數字和相加的原理。針對這樣的學習狀況，教學中我努力體現以下三點：

1．直面學情

以往教學中，當學生無法從個位或十位直接觀察到規律時，教師往往直接提示。學生即使能夠發現規律，也不是自己獨立探究的結果，更可能似懂非懂。通過前測，發現大家都存在“不同數位上的數字不能直接相加”的疑惑，教師就要思考：3的倍數特征存在的合理性在哪裡？這就是本節課要突破的重點和難點。

2．挖掘本質

借助百格圖這種直觀模型來探究，的确是一個很好的辦法。但重要的是怎樣讓學生體驗到餘數之和與每一位上的數字之和的聯系。先讓學生利用數形結合講一講10，20為什麼不是3的倍數，然後讓學生自己分一分、寫一寫，說一說，直觀感受和體驗哪個數位上數字是幾，最後就會餘下幾個一，這樣看似不同計數單位的數字相加，其實是相同計數單位的幾個一相加，所以隻需要看數字和就可以判斷是否為3的倍數了。

3．促進理解

數學是一門高度抽象的學科。如果本節課僅僅停留在知識層面知道3的倍數特征并學會判斷某個數是否為3的倍數，學生的分析、判斷、推理等能力就得不到有效提升。如果忽視學生的認知障礙，學生心中的疑惑就得不到有效的解答，久而久之學生就會失去思考的動力，變得懶得思考，不愛思考。探尋3的倍數特征背後的奧秘，弄清為什麼不同數位上的數字可以相加的道理，追本溯源，解答學生心中的疑惑，讓學生感受到數學的奇妙，感受到思考帶來的樂趣。

作者：鄧永翠（湖北省宜都市實驗小學）

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