大家好，我是小城大城。

極限的概念是由于求某些實際問題的精确解答而産生的，例如利用圓内接多邊形來推算圓面積的方法­­­­­（割圓術）。

設有一個圓，首先作内接正六邊形，把它的面積記為A1，再作内接正十二邊形，面積記作A2，再作二十四邊形其面積記作A3，循環下去，每次邊數加倍，一般的把内接正6×2ⁿ­­­-¹邊形面積記作An(n∈N﹢)，這樣就得到了一系列内接正多邊形的面積：

A1,A2,A3,…,An,...

它們構成一列有次序的數，當n越大，内接正邊形與圓的差别就越小，從而以An圓面積的近似值也越精确。但無論n取多大的值，An終究隻是多邊形的面積，不是圓的面積，因此，設想n無限增大（記作n→∞），即内接正變形的邊數無限增加，内接正多邊形無限接近于圓，同時An也無限接近于某一确定的數值，這個數值就理解為圓的面積。這個确定的數值在數學上稱為數列A1,A2,A3,…,An,...當n→∞時的極限。

先說明數列的概念。如果按照某一法則，對每一個n∈N﹢都對應着一個确定的實數Xn，按照n從小到大排序得到的一個序列

X1,X2,X3,...Xn,...

就叫做數列記作{Xn}。

數列{Xn}可以看作自變量為正整數n的函數，即Xn=f(n)。對于我們要讨論的問題來說，當n無限增大時（即n→∞），對應的Xn=f(n)是否能無限接近于某個确定的值？如果能夠的話，這個數值是多少？

我們對數列

2,1/2,4/3,...,n (-1)ⁿ-¹/n,... ①

進行分析，在數列中，

Xn=(n (-1)ⁿ-¹)/n=1 (-1)ⁿ-¹/n

我們都知道兩個數a與b在數軸上的接近程度可以用|b-a|來度量，|b-a|越小，a與b越接近。

就數列①，因為

Xn=(n (-1)ⁿ-¹)/n=1 (-1)ⁿ-¹/n => |Xn - 1|=|(-1)ⁿ-¹/n|=1/n

由此可見，當n越來越大時，1/n越來越小， |Xn - 1|=1/n越來越接近于0，從而Xn越來越接近于1，即當n無限增大時，1/n無限接近于0。在這裡我們就可以得出：

任意給定一個正數ε（ε>0），1/n都小于ε。例如：

給定ε=1/100，欲讓1/n < 1/100，隻要n>100，即當n從101項開始都能讓不等式

1/n < 1/100

成立，同樣的，如果給定ε=1/100000，欲使1/n < 1/100000，隻要n>100000，即n從100001項開始都能讓不等式

1/n < 1/100000

成立。以此類推n無限大時都有 |Xn - 1|=1/n小于任意正數，即無論給定的正數ε多麼小總存在一個整正數N使得當n>N時，不等式

|Xn - 1|<ε

都成立。其中1為當n→∞時數列Xn=f(n)的極限

通過上述的例子可以對數列的極限有如下的定義：

設數列{Xn}，如果存在常數a，對于任意給定的正數ε（無論ε多麼小），總存在正整數N，使得當n>N時不等式

|Xn-a|<ε

都成立，那麼就稱a為數列{Xn}的極限，記為Xn→a(n→∞)

如果不存在這樣的常數a，則數列的極限不存在。其中ε存在的意義就是為了通過|Xn-a|<ε表達Xn與a無限接近的意思。

我們都知道數列{Xn}是根據下标n從小到大排序的，所以當n無限增大時，無限接近于一個确定的數值a則數列{Xn}的極限為a，也稱數列收斂于a。由此可得定理：

1. 如果數列{Xn}收斂，那麼它的極限唯一
2. 對于數列{Xn}如果存在正整數M使得一切Xn都滿足不等式|Xn|<M，則稱數列是有界的，如果不存在這樣的正數M則數列是無界的。

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