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本雞的理念是，學數學必須理解，理解隻能考類比。

本文将從最容易的勻速圓周運動開始，用初等的幾何和物理，輔以一條熟知的導數公式，推出虛指數表達式，并且理解虛指數的性質。先把答案撂這裡：虛指數就是勻速圓周運動軌迹的表達式。強調一下，本文不是證明；本文的套路也不是本雞發明的，是在讀書的過程中獲得的體會和實操經驗。---希望你能模仿着寫一下，畫一畫

沒有晦澀的證明和推導，隻說人話，沒有廢話，來啊。

現在，你肯定能寫出一條三角恒等式：

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現在，再輕松畫一個圓周：

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插句廢話（其實不是），角theta，單位弧度----其實沒有物理意義上的單位。你想，圓周長公式不就是s=2πr嗎？但是，左邊s是長度，右邊半徑也是長度，所以π還敢有單位，兩邊就不平衡了。弧度角是純幾何的，其意義是弧長與直徑的比率，所以π叫圓周率。

再插句廢話，你心裡要永遠想着一件事，這個平面是複平面：描述複數，可以用箭頭，直角坐标，極坐标。先寫個直角算了：

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用直角坐标或者極坐标記法，圓周上的每個點就是

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剛才畫的那個圓，圓周半徑是1，也就是極坐标裡面的極徑r=1。不管怎麼樣，圓周可以說成是它上面的點的集合。圓周代表運動軌迹，就是讓點沿着圓周走，當然，方便的就是極坐标（角被強調了）。實際上，複數用極坐标做乘除法是非常方便的，這其實說明了為什麼物理和工科喜歡極坐标寫法。

現在，必須也隻需讓角随着時間均勻變化，裝模作樣畫幾個時刻的點（位置），就是

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現在注意勻速應該有

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既然角嚴格與時間成比例，所以omiga的單位是（角）頻率--時間的倒數--代表角增加的速度的大小，就是運動的快慢。這樣一來，咱圓方程和坐标記法就是

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現在明擺着，如果用複數的直角坐标記法，就可以這樣寫

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如果令w=1，這件事沒有任何的改變，所以，你可以看懂

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現在，重點來了。務必弄清楚一件事：速度方向是運動軌迹的切線方向，永遠垂直于半徑--半徑的角 π/2。牢牢記住這一點。好，現在裝模作樣的，又畫了幾筆

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還有一件事，就是圓周運動速度的大小肯定是不變的。也牢牢記住這一點。再回憶一下，導數可以理解為速度。因此這兩件事合起來，想法就是，如果用複值函數來描述圓周運動，

理解了----下面一小段讀不懂本文就對你沒用了-----

函數自變量是時間（因為你要描述運動），函數值是複數（圓周軌迹上的動點）。函數的導數（速度）恰好是函數自己乘以虛數單位i（因為速度垂直于半徑，而半徑就是特定時刻表示位置的複數--就那個箭頭；因為要勻速，所以大小不變）。------看一眼直角就知道，虛數單位i的角是π/2，所以一個複數乘以i，i就是保持其大小不變，角增加π/2

現在指定初速度是i-----話句話，1和i垂直------就是最開始的位置的速度，那麼t時刻的速度，也就是導數可以寫成

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（如果你取初速度為iw或者任意其他值，過程都是類似的，指定初值是解微分方程的必要）

現在如果i是實數的話，那麼上面的式子完全類似于

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現在形式上（事實上也的确如此），就應該

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因此必須有

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回憶一下z的直角坐标，就有

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常見的寫法是

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你立刻可以寫出傳說中最美公式，

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虛指數函數的2π-周期性是明擺着的；虛指數幾乎遍及所有的物理和工科。當年被卡的欲哭無淚啊。

再次感謝閱讀！希望幫到你了

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