本欄目精選刊登題友有價值的解答，供大家學習交流之用，歡迎各位題友積極參與！任何時候在公衆号中回複期數“第133期”或題目名稱“直角三角形”可查看本期問題及答案！

NO. 132

進制問題

直角三角形的三邊長度都是整數，且其周長在數值上等于其面積。符合上述條件的直角三角形一共有幾個？

來源：Ateteem魔法學園每日一題

問題分析解答

如圖，設直角三角形的三邊分别a，b，c，并設a<b,因為周長和面積相等，則有：

a² b²=c² ①

a b c=1/2ab ②

由②得，c=1/2ab-(a b)，代入①消去c化簡得：

ab-4(a b) 8=0

進一步有：

(a-4)(b-4)=8

因為a，b都是正整數，且a<b，所以

a-4=1，b-4=8或a-4=2，b-4=4

得 a=5，b=12 或 a=6，b=8。

可知符合條件的直角三角形隻有兩個，三邊長分别為5，12，13和6，8，10。

題友解答精選

◎題友 @卞愛華的解答：

首先要知道勾股數滿足通項公式：k(m²-n²),2kmn,k(m² n²)。根據題意列出方程并化簡有：kn(m-n)=2，容易得到三組解(k,m,n)=(2,2,1)、(1,3,1)、(1,3,2)。最後得到2個滿足題意的△：(6,8,10)、(5,12,13)。

小編注：關于勾股數組滿足的通項公式可參見今天推送的頭條文章《歐幾裡得與勾股數組》。

◎題友 @reds的解答：

假設兩直角邊長為a,b。 那麼 a b sqrt(a^2 b^2)=(1/2)ab。 化簡得 (1/4)ab 2=a b，(a-4)(b-4)=8 因此 a=5,b=12 或者 a=6,b=8。共有兩種

◎題友 @流水_輕風 的解答：

設直角邊為a，b，（a≤b）斜邊為c，由題意a² b²=c²，ab=2（a b c），消去c可得，（a－4）（b－4）=8，由于a，b均為正整數（a≤b），可得兩組解a=5，b=12和a=6，b=8.故這樣的直角三角形有兩個。

◎題友 @海闊天空 的解答：

根據題意，設該直角三角形兩直角邊分别為a² -b² 和2ab(a b為正整數且a>b)，則斜邊長為a² b² ，據題列出等式化簡得:b(a-b)=2。解得:a=3，b=1 或a=3，b=2。因此，滿足題目條件的直角三角形有2組。即邊長分别為(6 8 10)和(5 12 13)兩組直角三角形。

本期答案整理：子曰 編輯：子曰

感謝各位題友的積極參與，下期再見！

好玩的數學

mathfun

↑

好玩的數學以數學學習為主題，以傳播數學文化為己任，以激發學習者學習數學的興趣為目标，分享有用的數學知識、有趣的數學故事、傳奇的數學人物等，為你展現一個有趣、好玩、豐富多彩的數學世界。

↓

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!