對于幂函數f(x)等于x的n次方，如果它的指數n為偶數，則f(x)為偶函數；如果指數n為奇數，則f(x)為奇函數。那麼奇偶性和幂函數有什麼聯系呢？

實際上，奇偶性名稱就來自于幂函數的指數，指數為奇數的幂函數就是奇函數，指數為偶數的幂函數就是偶函數。以前北師大版教材的必修1把奇偶性放在幂函數一節，就有這方面的考慮。

反過來，同學們可以從命名中發現幂函數的圖像對稱性和變化規律。實際上，隻要掌握了奇偶性的規律，我們也可以自己構造奇函數或偶函數。我們有如下結論：

一、結論1

設f(x)為定義域為R的任意函數，則可構造函數g(x)=1/2[f(x)-f(-x)]和函數h(x)=1/2[f(x) f(-x)]，則g(x)為奇函數，h(x)為偶函數。

（一）證明

由f(x)定義域為R，容易得到g(x)和h(x)的定義域也均為R。

則g(-x)=1/2[f(-x)-f(x)]= -1/2[f(x)-f(-x)]=-g(x)

h(-x)=1/2[f(-x) f(x)]=h(x)

根據定義可得，g(x)為奇函數，h(x)為偶函數。

利用這個結論，可以迅速解決一些奇偶性問題。

（二）例題

例1：a為常數，判斷下列函數的奇偶性。

(1) f(x)＝|x＋a|－|x－a|

(2) g(x)＝|x＋a|＋|x－a|

解：設函數h(x) ＝ |x＋a|，則h(－x) ＝ |－x＋a|＝|x－a|，

則f(x) ＝|x＋a|－|x－a|＝h(x) －h(－x)，

g(x) ＝|x＋a|＋|x－a|＝h(x) ＋h(－x)

根據上述結論，f(x)為奇函數，g(x)為偶函數。

說明：f(x)＝|x＋a|－|x－a|和g(x)＝|x＋a|＋|x－a|是典型的絕對值型奇函數和偶函數。例1是利用任意一個函數構造出一個奇函數和一個偶函數，反過來，我們有第二個結論。

二、結論2

任意一個定義在R上的函數都可以寫成唯一一個奇函數和一個偶函數的和。

（一）證明

設函數f(x)定義域為R，且f(x)=g(x) h(x)，且g(x)為奇函數，h(x)為偶函數。

則g(-x)=-g(x)，h(-x)=h(x)，

則f(-x)=g(-x) h(-x)=-g(x) h(x)①

又f(x)=g(x) h(x)②

由①②解得g(x)=1/2[f(x)-f(-x)]，h(x)=1/2[f(x) f(-x)]。

故任意一個定義在R上的函數都可以寫成唯一一個奇函數和一個偶函數的和。

（二）例題

說明：本題解法（1）看起來更簡單。我們換一下條件，如果求f(2)＋g(1)的值，那麼此時解法（1）的方法就失效了，但是利用解法（2）仍然可以迅速求出結果，得到f(2)＝16＋1＝17，g(1)＝－1，f(2)＋g(1)＝16。

更進一步，對于含參數的問題，解法（2）也有奇效。我們看下面一個例子。

說明：奇函數＋常數(c)是一類非常有趣的函數，雖然此函數非奇非偶，既不關于原點對稱，也不關于y軸對稱，但是根據上加下減原則，函數圖像上、下移動了，對稱中心由(0，0)變為，(0，c)，則由對稱原理，我們有第三個論：

三、結論3

定義在R上的函數f (x)＝g(x)＋c，g(x)是奇函數，則有：f(x)＋f(－x)＝2c，圖象關于(0，c)對稱。

(一)例題

總結：任一個定義域為R的函數都可以構成成唯一一對奇函數和偶函數的和。那麼，如果f(x)本身就是奇函數或偶函數，怎麼分解成一個奇函數和一個偶函數的形式呢？

實際上，有一個函數f(x)=0（x∈R），既是奇函數也是偶函數。則對于奇函數g(x)來說，可以構造出g(x)= g(x) 0，滿足一個奇函數和一個偶函數之和的形式；同理，對于偶函數h(x)，可以構造出h(x)=h(x) 0，也滿足一個奇函數和一個偶函數之和的形式。

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