【分析方法導引】

當幾何問題中出現了直角三角形斜邊上的中點時，就應想到要應用直角三角形斜邊上的中線的基本圖形的性質進行證明。接下來就應将斜邊上的中線添上。進一步的分析就是：若斜邊上的中點是條件，則直接推得斜邊上的中線等于斜邊的一半，并可直接應用兩等腰三角形推得角之間的等量關系。若斜邊上的中點是要證明的結論，則應轉而證明要證相等的這兩條線段都和這條斜邊上的中線相等，也就是轉化為等腰三角形的判定問題或者也就是證明角相等的問題。進一步也就是應用線段相等與角相等之間的等價關系來完成分析。

當幾何問題中出現了線段之間的倍半關系，且倍線段是直角三角形的斜邊時，就應想到要應用直角三角形斜邊上的基本圖形進行證明。接下來就應将斜邊上的中線添上，得到這條斜邊上的中線等于斜邊的一半，和相應的角之間的等量關系和倍半關系，問題就轉化成要證明問題中出現的倍半關系中的半線段與這條斜邊上的中線相等。

當幾何問題中出現了兩個角之間的倍半關系，且其中的半角是一個直角三角形的銳角時，就可想到要應用直角三角形斜邊上的中線的基本圖形進行證明。接下來的問題也是将斜邊上的中線添上，然後可應用兩個等腰三角形的頂角的外角等于底角的兩倍的性質來完成分析。

例9 如圖3-220，已知：△ABC中，M是BC的中點，AX是過A的一直線，BE⊥AX，CF⊥AX，垂足分别是E、F。求證:ME=MF。

圖3-220

分析:本題條件中出現BM=CM，且BE⊥AX，CF⊥AX，所以BE∥FC，這是過BC的兩個端點所作的平行線，所以可添加中心對稱型全等三角形進行證明。添加的方法是将過端點的平行線與過中點的直線相交，于是延長EM交CF于G(如圖3-221)，即可證明△BME≌△CMG，EM=GM。又因為已知∠EFG=90°，這樣就出現了M是直角△EGF的斜邊EG的中點，從而就可以直接應用直角三角形斜邊上的中線的基本圖形的性質證明ME=MF(如圖3-222)。

圖3-221

圖3-222

在将過端點的平行線與過中點的直線相交時，也可以延長FM交BE的延長于G(如圖3-223)，那就可證明△BGM ≌ △CFM，GM=FM，而∠FEG=90°，所以也可以直接應用直角三角形斜邊上中線的性質證得ME=MF。

圖3-223

本題要證明ME=MF，這是兩條具有公共端點M的相等線段，所以它們可以組成一個等腰三角形。而要證明這個等腰三角形，也可以應用等腰三角形中重要線段的基本圖形的性質進行證明。于是首先應将等腰三角形中的這條重要線段添上，也就是作MH⊥EF，垂足設為H(如圖3-224)，則證明ME=MF就可以轉化為要證EH=FH。而由MH⊥EF，又可以得MH∥CF∥EB，這樣就出現了MH是△DCF(可設AX交BC于D)内一條邊CF的平行線段，所以可應用平行線型相似三角形進行證明，于是由MH∥CF，可得△DMH∽△DCF，DH/FH=DM/CM，而由MH∥EB，可得這也是兩條平行線段，且它們四個端點兩兩的連線在D點相交，所以又可應用平行線型相似三角形的基本圖形的性質進行證明。于是由MH∥EB，可得△MHD∽△BED，DH/EH=DM/BM，但已知BM=CM，所以有DH/FH=DH/EH，從而就可證明EH=FH，分析也就可以完成。

圖3-224

例10 如圖3-225，已知：C是半圓O的直徑AB上的一點，CD⊥AB交半圓于D，以AC、BC為直徑分别作半圓O1、半圓O2，EF是兩半圓的外公切線，且與CD相交于G。求證：CD、EF互相平分。

圖3-225

分析:由條件AB、AC、BC分别是半圓O、半圓O1和半圓O2的直徑，所以半圓O1和半圓O2在C點外切，而已知CD⊥AB，可得CD是半圓O1和半圓O2的内公切線，從而就可以在每一個半圓中，應用弦切角的基本圖形的性質得∠GEC=∠GCE，∠GFC=∠GCF，GE=GC和GF=GC，這樣就出現了一個直角三角形斜邊上的中線的基本圖形，也就是可得∠ECF=90°(如圖3-226)。

圖3-226

由結論CD、EF互相平分，可得四邊形ECFD應是一個平行四邊形，而由∠ECF=90°，可得這個四邊形應是一個矩形，從而∠EDF也應等于90°，但由于∠EDF是一個圓周角，而這個圓周角現在是直角， 所以應用半圓上的圓周角的基本圖形的性質可得DE、DF的延長線應分别經過直徑的端點A和B，因此問題實質上就是要證明A、E、D共線和B、F、D共線(如圖3-227)。

圖3-227

而要證明這兩組三點共線，我們可以直接連接AD，BD且設分别與半圓O1和半圓O2相交于E′和F′，然後證明E′和F′就是E點和F點。由條件AB是半圓O的直徑，D是半圓上的一點，所以∠ADB=90°，根據同樣的道理，連結E′C、F′C後，有∠AE′C=90°，∠BF′C=90°，從而可得∠DE′C=∠DF′C=∠E′DF′=90°，四邊形DE′CF′是矩形，所以∠F′DC=∠F′E′C。又因為已知DC⊥AB，就出現了DC是直角△ABD的斜邊AB上的高，從而就可以應用直角三角形斜邊上的高的基本圖形的性質得∠A=∠BDC，這樣就進一步推得∠F′E′C=∠A，于是就可應用弦切角的基本圖形的性質得到F′E′與△CE′A的外接圓，也即與半圓O1相切于E′。同樣的道理也可以證明E′F′與半圓O2相切于F′，也就是E′F′與半圓O1和半圓O2的外公切線，切點分别是E′、F′，所以E′和F′分别與E、F重合。而CD和E′F′是互相平分的，所以EF和CD互相平分也就可以證明。

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