作者 | 餘文卿（台灣國立中正大學數學系）

來源 | 《數學傳播》20卷1期，“好玩的數學”獲授權轉載，在此感謝！

注：原文标題《談<天才之旅>》，《天才引導的曆程》是簡體版書名，副标題為“數學中的偉大定理”，該書由機械工業出版社出版。本文在編輯時一律将英文人名改成了中文譯名。

這是一本曆史性的數學書籍，談論數學上的偉大定理及其幕後的數學天才。涵蓋的年代從西元前440年的希波克拉底到西元1874年的康托。透過對數學上一些天才的生平傳記，而引導出一系列的偉大數學定理，這些定理散布在古典平面幾何學、立體幾何學、三角學、數論以及集合論，提到的偉大數學家共11位，依年代次序是希波克拉底、歐幾裡得、阿基米德、海倫、卡爾達諾、牛頓、伯努利兄弟、歐拉與康托。而談到的偉大定理即是這些天才數學家的嘔心瀝血的傳世代表作。

一、希波克拉底，歐幾裡得與阿基米德

希波克拉底在幾何學上有兩大主要貢獻；一是由幾個簡單的公式出發而正确地且有邏輯地發展出有系統的幾何學定理，是歐幾裡得的巨著《幾何原本》的前身。另一貢獻是他建構一正方形，使其面積等于一給定新月形的面積，當然他考慮的新月形非常特殊，是圓内接正方形邊上之半圓與這圓所圍的弧形區域，如下圖所示：

注意到：

半圓 AEC 的面積 = 四分之一圓AFCO的面積，

故新月形AECF的面積=△ACO的面積。

又三角形很容易平方化，故得出新月形AECF可平方化。

歐幾得得有系統地整理出現今所稱的歐氏幾何學，在《幾何原本》的開頭，他甚至對點、線下了意義不甚明确的定義。

定義1：點沒有面積。

定義2：線沒有寬度。

定義3：線上的點均勻分佈。

以現代的觀點，這些定義無法被完全接受。在一邏輯系統中，最後總有一些無法用其他名詞來定義的“無定義名詞”，而點、線與面是歐氏幾何中的無定義名詞。雖然如此，歐幾裡得提出之畢氏定理的證明卻流傳至今。另外他所提出關于質數有無窮多個的證明也非常簡潔漂亮。

阿基米得利用圓内接與外切正多邊形而算出圓面積的近似值，這也相當于計算圓周率的近似值。另外他算出球的表面積是其内接最大圓(赤道圓)之面積的四倍。

阿基米德最得意的傑作是導出圓柱内切球體之體積與圓柱體積之間的關系：

圓柱體積=球體的體積

這定理刻在他的墓碑上，也成為他永垂千古的一大注記。

二、海倫與卡爾達諾

三角形的面積是底乘高的一半。而海倫公式則将三角形的面積表成三邊長的對稱式。以 a，b，c 表示一三角形的三邊長，是半周長，則三角形的面積是

這式子在現代，運用餘弦定理很容易導出，亦即

但在古老的幾何學上，沒有這些定理可運用，仰賴的隻是比例與相似的定理，這也是這定理偉大的原因。

三次方程式的解法秘方在16世紀的意大利數學界被當成是挑戰對手的籌碼，而卡爾達諾從塔爾塔利亞學到這秘方，但在神前發誓不公開，而他的學生費拉裡更能解出一般的四次方程式。但囿于誓言，無法把解法公諸于世。

但在1543年，卡爾達諾與費拉裡旅行到博洛尼亞，在希皮奧内·德爾·費羅（Scipione del Ferro）的早三十年的文獻中，發現已有三次方程式的解法，因而卡爾達諾沒有理由再繼續遵守諾言，而将解法在1545年出版。

解決了三次與四次方程式未能使人們滿足，有的人更探求五次與五次以上方程式的解法，但都沒有具體的結果。1824年挪威的年輕數學家阿貝爾提出驚人的看法，五次與五次以上方程式沒有根式解。這也終結了人們對多項方程式之根式解的進一步探求。

三、牛頓，伯努利兄弟與歐拉

牛頓與萊布尼茨被公認是微積分的發明人。牛頓除了創立古典力學外，在數學上的貢獻更無可抹滅。這書上提到他發現的二項式定理，亦即|x|<1時

這裡r是一般的實數，而二項系數

當r是正整數時，這是一般的二項式定理。利用這展開式，牛頓計算圓周率的近似值為3.141592668。

伯努利家族有兩位兄弟數學家，一是哥哥雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli，1654-1705)，另一是弟弟約翰·伯努利（Johann Bernoulli），這也是歐拉的啟蒙老師。約翰證明調和級數

的發散性，并向全歐洲數學家提出一挑戰性的問題：求從一定點到另一定點，在重力作用下，質點運動的最便捷路徑。當然這解不是一般的直線，他們把這類曲線稱為最速降線（brachistochrone），是由希臘文“最短的”與“時間”的合成。

這問題在期限到時共收到五個答案，一是他本身提供，另一是萊布尼茨提供，他哥哥提供了第三個解法，而洛必達加上第四個，最後一個來自英國，約翰打開一看，答案完美無瑕，但信末沒有署名，這正是牛頓的一貫作風，毫無疑問地，這是出自牛頓的手法。約翰不禁驚歎：從它的爪子，我就認出它是獅子。

四、歐拉與康托

歐拉在數學上論文的質與量都空前絕後，他的全集超過70巨冊，這裡舉出隻是他在數論方面的兩大工作。1734年，歐拉提出級數

的和是，而他運用的手法是把根與系數的關系用在正弦函數上，這方法在當代引起很大的争議，也讓他費了往後十多年的時間去說服别人相信。

歐拉在數論上的另一貢獻是重證費馬的結果并加以推廣，如他證明了 費馬小定理：

若p是質數且(a，p)=1，則。

他并加以推廣：若 n是正整數且(a，n)=1，則(mod n)。這裡的表示1 到n中與n互質的正整數個數，也是現稱的歐拉-函數。

費馬所提出的數論結果不見得都是對的，如他對質數的猜測： 1是質數。這對n=1,2,3,4 确實沒錯，但n=5時，歐拉發現

³² 1=641×6 700 417

數學上有很多抽象的基本概念到19世紀尚有待澄清，其中之一是分析學上的極限，另一是基礎學上的無窮大。1821年法國數學家對極限下了如下的定義：

當 趨近某一特定 時， 與 的誤差值可小到任意小，則稱 是 趨近于 時， 的極限。

這定義經由魏爾斯特拉斯修正為：

給定 ，存在有一

基礎數學中的一重要議題是計數理論。凡是可與正整數 N 或其子集做一一對應的集合稱為可數集。如整數與有理數都是可數集。康托證明實數是不可數集，而運用的手法即現稱的對角化步驟。他假設介于0與1之間的實數是可數集而表為小數，即

… … …

… … …

康托的方法是選取使得

以表示集合 A 的基數(cardinal number)，康托證明<。這裡 P[A]表示 A之所有部分集合所成的集合。這定理引起廣大的議論。例如以 U 表示所有集合所成的集合，即宇集，如此的 U無所不包，已沒有拓展的空間，但 康托的定理告訴我們。這表示 P(U) 比宇集U 包含更多。Cantor在1895年體認到這反常現象，在往後十年間，他嘗試彌補這空 白。這要等待公設化集合論出現才彌補過來。在公設化集合論中，宇集U不存在，而把這詭辯化為烏有。

五、結語

這本書的趣味性非常濃厚，我們在書上見到的不隻是定理的精彩證明，更見到背後數學天才的不同處境，有的活躍於數學界，有的卻失意於非數學界，有的受寵于君王側，有的卻流浪在偏遠地區，我們見到的是一部活生生的數學曆史，是有志于數學工作者不可不看的好書。

《天才引導的曆程：數學中的偉大定理》

作者：[美] William Dunham

出版社：機械工業出版社

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