類型一、“三線八角”模型

【例1】 (1)圖3中，∠1、∠2由直線 被直線 所截而成．

(2)圖4中，AB為截線，∠D是否屬于以AB為截線的三線八角圖形中的角？

【答案】(1) EF，CD； AB． （2）不是 ．

【解析】（1）∠1、∠2兩角共同的邊所在的直線為截線，而另一邊所在的直線為被截線．

（2）因為∠D的兩邊都不在直線AB上，所以∠D不屬于以AB為截線的三線八角圖形中的角．

【總結升華】判斷 “三線八角”的關鍵是找出哪兩條直線是被截線，哪條直線是截線.

類型二、同位角、内錯角、同旁内角的辨别

【例2】如圖，(1)DE為截線,∠E與哪個角是同位角?

(2)∠B與∠4是同旁内角，則截出這兩個角的截線與被截線是哪些直線？

(3)∠B和∠E是同位角嗎?為什麼?

【答案與解析】

解：（1）DE為截線,∠E與∠3是同位角；

（2）截出這兩個角的截線是直線BC,被截線是直線BF、DE；

（3）不是,因為∠B與∠E的兩邊中任一邊沒有落在同一直線上,所以∠B和∠E不是同位角.

【總結升華】确定角的關系的方法：（1）先找出截線，由截線與其它線相交得到的角有哪幾個；（2）将這幾個角抽出來，觀察分析它們的位置關系；（3）再取其它的線為截線，再抽取與該截線相關的角來分析.

舉一反三：

【變式】如圖，下列判斷錯誤的是（ ）．

A. ∠1和∠2是同旁内角． B. ∠3和∠4是内錯角．

C. ∠5和∠6是同旁内角． D. ∠5和∠8是同位角．

【答案】C

【例3】如圖，∠ABD與∠BDC，∠ADC與∠BCE，∠ABC與∠BCD，∠ADB與∠DBC分别是哪兩條直線被哪一條直線所截而成的？它們分别是什麼角？

【答案與解析】

解：∠ABD與∠BDC是由直線AB，DC被直線BD所截而成的，是内錯角，

∠ADC與∠BCE是由直線AD，BC被直線DE所截而成的，是同位角，

∠ABC與∠BCD是由直線AB，DC被直線BC所截而成的，是同旁内角，

∠ADB與∠DBC是由直線AD，BC被直線BD所截而成的，是内錯角.

【總結升華】要分析各對角是由哪兩條直線被哪一條直線所截的，可以把複雜圖形按題目要求分解成簡單的圖形後，結論便一目了然.

舉一反三：

【變式】如圖∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，哪些是同位角？哪些是内錯角？哪些是同旁内角？

【答案】

解：同位角：∠5與∠1，∠4與∠3；

内錯角：∠2與∠3，∠4與∠1；

同旁内角：∠4與∠2，∠5與∠3，∠5與∠4.

【例4】分别指出下列圖中的同位角、内錯角、同旁内角.

【答案與解析】

解： 同位角：∠B與∠ACD，∠B與∠ECD；

内錯角：∠A與∠ACD，∠A與∠ACE；

同旁内角：∠B與∠ACB，∠A與∠B，∠A與∠ACB，∠B與∠BCE．

【總結升華】在複雜圖形中，分析同位角、内錯角、同旁内角，應把圖形分解成幾個“兩條直線與同一條直線相交”的圖形，并抽取交點處的角來分析．

舉一反三：

【變式】請寫出圖中的同位角、内錯角、同旁内角．

【答案】

解：∠1與∠5，∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8是同位角；

∠2與∠8，∠3與∠5是内錯角；

∠2與∠5，∠3與∠8是同旁内角.

類型三、同位角、内錯角、同旁内角大小之間的關系

【例5】如圖直線DE、BC被直線AB所截，

(1)∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4各是什麼角？每組中兩角的大小關系如何？

(2)如果∠1=∠4，那麼∠1和∠2相等嗎？∠1和∠3互補嗎？為什麼？

【答案與解析】

解：(1)∠1和∠2是内錯角；∠1和∠3是同旁内角；∠1和∠4是同位角． 每組中兩角的大小均不确定．

(2) ∠1與∠2相等，∠1和∠3互補. 理由如下：

① ∵∠1=∠4（已知）

∠4＝∠2（對頂角相等）

∴∠1＝∠2.

② ∵∠4＋∠3＝180°(鄰補角定義)

∠1＝∠4(已知)

∴∠1＋∠3＝180°

即∠1和∠3互補.

綜上，如果∠1=∠4，那麼∠1與∠2相等，∠1和∠3互補．

【總結升華】在“三線八角”中，如果有一對同位角相等，則其他對同位角也分别相等，并且所有的内錯角相等，所有同旁内角互補．

舉一反三：

【變式1】若∠1與∠2是内錯角，則它們之間的關系是 ( ) ．

A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．∠1＝∠2或∠1＞∠2或∠1＜∠2

【答案】D

【變式2】下列命題：①兩條直線相交，一角的兩鄰補角相等，則這兩條直線垂直；②兩條直線相交，一角與其鄰補角相等，則這兩條直線垂直；③内錯角相等，則它們的角平分線互相垂直；④同旁内角互補，則它們的角平分線互相垂直，其中正确的個數為（　　）．

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C （提示：②④正确）．

類型四、平行線的性質

【例6】如圖所示，如果AB∥DF，DE∥BC，且∠1＝65°．那麼你能說出∠2、∠3、∠4的度數嗎?為什麼．

【思路點撥】本題已知條件中，包含了兩個層次：第一層次是由DE∥BC，可得∠1＝∠4，∠1 ∠2＝180°；第二層次是由DF∥AB，可得∠3＝∠2或∠3 ∠4＝180°，從而解出∠2、

∠3、∠4的度數．

【答案與解析】

解：∵ DE∥BC，

∴ ∠4＝∠1＝65°(兩直線平行，内錯角相等)．

∠2 ∠1＝180°(兩直線平行，同旁内角互補)．

∴ ∠2＝180°-∠1＝180°-65°＝115°．

又∵ DF∥AB(已知)，

∴ ∠3＝∠2(兩直線平行，同位角相等)．

∴ ∠3＝115°(等量代換)．

【總結升華】平行線的性質：由兩條直線平行的位置關系得到兩個相關角的數量關系．

舉一反三：

【變式】如圖，已知l1//l2,l3//l4，且∠1=48°，則∠2＝ ，∠3＝ ，∠4＝ .

【答案】48°，132°，48°

類型五、兩平行線間的距離

【例7】如圖所示，直線l1∥l2，點A、B在直線l2上，點C、D在直線l1上，若△ABC的面積為S1，△ABD的面積為S2，則( ).

A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不确定

【答案】B

【解析】因為l1∥l2，所以C、D兩點到l2的距離相等．同時△ABC和△ABD有共同的底AB，所以它們的面積相等．

【總結升華】三角形等面積問題常與平行線間距離處處相等相結合．

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