最小二乘法的解釋和例子
最小二乘是一種找到逼近一組數據的最佳直線的方法。
特别地，最小二乘尋求使每個數據點與預測值之間的差的平方最小化。這是一種線性回歸，在工程和統計上應用廣泛。
什麼是最小二乘法?
最小二乘法尋求找到一條最接近一組數據的直線。 在這種情況下，“最佳”是指預測值和實際值之間的差的平方和最小的一條線。
為什麼要用平方呢? 為什麼不直接找到這些問題中預測值和實際值的差值之和呢?
在某些情況下，預測值會大于實際值，在某些情況下，預測值會小于實際值。 然而，在這兩種情況下，預測值都是不準确的。
不過，隻要找出差異，就會得到正負兩種值的混合結果。 因此，僅僅把這些加起來并不能很好地反映兩個值之間的實際位移。
然而，平方數總是正的。 因此，把這些加在一起可以更好地了解最佳拟合線的精度。
最小二乘法使用一個特定的公式來求直線y=mx b，使這個和最小。 實際上就是要找到一對m,b 的值，使得各點(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) 的縱坐标的平方和最小：
求解上述最小值時的m, b就得出直線y=mx b。
最小二乘法的定義
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最小二乘法是一種尋找一條線來近似一組數據的方法，它使預測值和實際值之間的差的平方和最小。
這條直線的形式是y=b mx，其中m和b是使用給定數據集的x和y值計算的。
最小二乘法的公式
最小二乘方法的目标是找到一條方程y=mx b的直線，最接近數據。 這有時被稱為最适合直線。
在這裡，“最佳”意味着實際數據點和它們的預測值在直線上的差的平方和是最小的。 因此，有了“最小二乘”這個名字。
對于點為(x1,y1)，…，(xn,yn)的一組數據，這條最小二乘線是y=mx b，其中m和b如下所示：
因為：y=mx b, 對于拟合的x 和 y有：
根據這兩個方程解出m, b:
這等效于：
并且：
證明上述公式就是滿足最小差平方和，需要用微積分的知識，在此省略。
例子這一節涵蓋了涉及最小二乘的常見問題的例子以及它們的逐步解決方案。.
問題：考慮以下10組數據，用最小二乘法來拟合一條直線。
根據給定的數據計算：
帶入公式得出：
m=0.677,
b=3.0026
即直線方程為： y=3.0026 0.677x
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