抛物線和橢圓的經典例題-tft每日頭條

抛物線和橢圓的經典例題

圖文更新时间:2025-01-18 14:52:23

本篇用無窮大的思想将一個一般方程變成橢圓，雙曲線，抛物線方程。即簡單又容易理解。

我們知道二次曲線的通用方程：

抛物線和橢圓的經典例題（用無窮大的思想分析橢圓）1

經過改寫：

抛物線和橢圓的經典例題（用無窮大的思想分析橢圓）2

所以每個橫坐标X有兩個縱坐标與之對應，或者沒有縱坐标與之對應，因為y的根為實數或者為虛數。而橢圓，抛物線，雙曲線正是從這個方程中分離出來，變成獨立的曲線。

當坐标系原點在圖形中心點時，y的兩個值肯定大小相等，符号相反，所以和為0，所以

抛物線和橢圓的經典例題（用無窮大的思想分析橢圓）3

此時二次曲線通用方程的形狀為：

抛物線和橢圓的經典例題（用無窮大的思想分析橢圓）4

此處 b d取不同的值時，将會産生不同的圓錐曲線。

第一雙曲線：當d>0，x趨于正無窮大時:

抛物線和橢圓的經典例題（用無窮大的思想分析橢圓）5

因此表達式（1）為正，縱坐标y有兩個無窮大的值，一正一負，

當x趨于負無窮大時，表達式（1）仍為正，縱坐标y有兩個無窮大的值，一正一負，

所以d>0時，二次曲線有四條伸向無窮遠的分支，x趨于正無窮大時兩條，x趨于負無窮大時兩條。這就是雙曲線的來源。

雙曲線方程：

抛物線和橢圓的經典例題（用無窮大的思想分析橢圓）6

抛物線和橢圓的經典例題（用無窮大的思想分析橢圓）7

第二橢圓：當d<0時，x趨于正無窮大和負無窮大時，表達式

抛物線和橢圓的經典例題（用無窮大的思想分析橢圓）8

所以縱坐标y都是虛數（或不存在）,可見d<0時，曲線的縱坐标都不能為無窮大，即曲線沒有伸向無窮的分支，整個曲線位于一個确定的有限範圍之内，這樣的二次曲線就是橢圓。

橢圓方程：

抛物線和橢圓的經典例題（用無窮大的思想分析橢圓）9

抛物線和橢圓的經典例題（用無窮大的思想分析橢圓）10

所以d>0或d<0二次曲線截然不同，決定了兩種曲線，

第三抛物線：當d=0時，因為0在正負之間，所以這時的曲線性質也在雙曲線和橢圓之間。

此時方程變為

抛物線和橢圓的經典例題（用無窮大的思想分析橢圓）11

b為正為負都可以，當b>0時，X趨于正無窮時，y也趨于無窮大,且一正一負。

當b>0時，X趨于負無窮時，y為虛數（不存在）

所以當d=0，b>0時，二次曲線有趨于無窮的兩個分支。且隻有兩個分支，這就是抛物線。

抛物線方程：

抛物線和橢圓的經典例題（用無窮大的思想分析橢圓）12

抛物線和橢圓的經典例題（用無窮大的思想分析橢圓）13

上述就是用無窮大思想分析一般通用方程得到三種不同的曲線。

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