泰勒公式和拉格朗日中值定理都是屬于微分中值定理的内容。《老黃學高數》系列視頻從第175講開始，到第211講都在講這方面的内容。其中包括三大微分中值定理：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，還有泰勒公式的兩種形式以及麥克勞林公式等内容。如果你對這方面沒有基礎，可以從這套學習視頻中系統地學到所需的知識。

這些知識都是有其内在聯系的，雖然它們的聯系在學習視頻中通過定理的證明和例題等，都有涉及，但其内涵還是要靠平時的練習來加強理解的。下面就是一道可以運用泰勒公式，也可以運用拉格朗日中值定理解決的應用題。老黃會為你分析兩種解法，希望你能從中感受到泰勒公式和拉格朗日中值定理的聯系。

設函數f在[0,a]上二階可導，且|f”(x)|≤M, f在(0,a)取得最大值. 證明：|f’(0)| |f’(a)|≤Ma.

方法一，運用泰勒公式。方法二，運用拉格朗日中值定理。

證：記ξ∈(0,a)，使f(ξ)最大, 則f’(ξ)=0. 【二階可導函數的最大值點，肯定是極大值點，所以導數等于0，這一步是兩種方法共有的】

方法一：f(x)=f(0) f’(0)x 1/2*f”(ξ1)x^2, 0<ξ1<x<a, 【這是函數在x=0的泰勒公式，其實就是麥克勞林公式】

f’(x)=f’(0) f”(ξ1)x, 【對泰勒公式求導，這個方法估計初學者一般想不到】

f’(ξ)=f’(0) f”(ξ1)ξ=0, 【代入x=ξ，這一步很關系。而且這一步其實就是f'(x)在[0,ξ]上的拉格朗日中值公式，你發現了嗎？】

f’(0)=-f”(ξ1)ξ,

f(x)=f(a) f’(a)(x-a) 1/2*f”(ξ2)(x-a)2, 0<x<ξ2<a, 【這是函數在x=a的泰勒公式】

f’(x)=f’(a) f”(ξ2)(x-a), f’(ξ)=f’(a) f”(ξ2)(ξ-a)=0, f’(a)=-f”(ξ2)(ξ-a), 【其實可用“同理”，來直接得到這一步的結論。來到這裡，聰明的你應該知道接下來該怎麼做了吧！所謂水到渠成嘛】

|f’(0)| |f’(a)|=|-f”(ξ1)ξ| |-f”(ξ2)(ξ-a)|=ξ|f”(ξ1)| (a-ξ)|f”(ξ2)|,

∵|f”(ξ1)|≤M,|f”(ξ2)|≤M, ∴|f’(0)| |f’(a)|≤ξM (a-ξ)M=Ma.

方法二：對f’(x)在[0,a]應用拉格朗日中值定理，可知，

存在ξ1,ξ2∈(0,a)使得：

|f’(0)|=|f’(ξ)-f’(0)|=|f”(ξ1)|ξ ≤Mξ，【這是在[0,ξ]上運用拉格朗日中值定理公式的變形，包括取了絕對值】

|f’(a)|=|f’(ξ)- f’(a)|=|f”(ξ2)|(a-ξ)≤M(a-ξ)，【這是在[ξ,a]上運用拉格朗日中值定理】

∴|f’(0)| |f’(a)|≤Mξ M(a-ξ)=Ma.

可以看到，方法二用拉格朗日中值定理證明簡便得多，但這類題目并非都可以用這種方法解決的。當拉格朗日中值定理搞不定時，你就不得不考慮使用柯西中值定理，甚至是泰勒公式了。三種方法，可以說是三個層次，也對應着三種難度。在這個過程中，你發現拉格朗日中值定理和泰勒公式之間的聯系了嗎？

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