危機一，希帕索斯發現了一個腰為1的等腰直角三角形的斜邊（即√2）永遠無法用最簡整數比（不可公度比）來表示，從而發現了第一個無理數，推翻了畢達哥拉斯的著名理論。新發現的數由于和之前的所謂“合理存在的數”——即有理數在學派内部形成了對立，所以被稱作了 無理數 。希帕索斯正是因為這一數學發現，而被畢達哥拉斯學派的人投進了大海，處以“淹死”的懲罰。

約在公元前370年，柏拉圖的學生攸多克薩斯解決了關于無理數的問題. 他純粹用公理化方法創立了新的比例理論，巧妙地處理了可公度和不可公度. 他處理不可公度的辦法，被歐幾裡得《幾何原本》第二卷（比例論）收錄，并且和狄德金于1872年繪出的無理數的現代解釋基本一緻. 21世紀的中國中學幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微妙之處.

危機二，微積分的合理性遭到嚴重質疑，險些要把整個微積分理論推翻。第二次數學危機發生在牛頓創立微積分的十七世紀。微積分誕生後數學家們把微積分應用于各個領域，并獲得豐碩成果但是微積分在理論基礎上存在很多缺陷。第二次數學危機是由牛頓學派的外部、貝克萊大主教提出的，是對牛頓“無窮小量”說法的質疑引起的。

直到柯西在1821年的《代數分析教程》中從定義變量出發，他抓住極限的概念，指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變量，無窮小量是以零為極限的變量；并且定義了導數和積分在這些工作基礎上，維爾斯特拉斯消除了其中不确切的地方，給出現在通用的極限的定義，連續的定義，并把導數、積分嚴格地建立在極限的基礎上。

這次危機不但沒有阻礙微積分的迅猛發展和廣泛應用，反而讓微積分馳騁在各個科技領域，解決了大量的物理問題、天文問題、數學問題，大大推進了工業革命的發展。就其自身得到了不斷的系統化，完整化，拓展出不同的分支，成為了18世紀數學世界的“霸主”。

危機三，羅素悖論：S由一切不是自身元素的集合所組成，那S包含S嗎？用通俗一點的話來說，小明有一天說：“我正在撒謊！”問小明到底撒謊還是說實話。羅素悖論的可怕在于，它不像最大序數悖論或最大基數悖論那樣涉及集合高深知識，它很簡單，卻可以輕松摧毀集合理論！

康托爾的集合論是數學史上最具革命性和創造性的理論，他處理了數學上最棘手的對象——無窮集合，讓無數因“無窮”而困擾許久的數學家們在這種神奇的數學世界找回了自己的精神家園。到了20世紀初，集合論已經得到數學家們的普遍贊同，大家一緻認為，一切數學成果都可以建立在集合論的基礎之上了，就連集合論誕生之初強烈反對的著名數學家龐加萊也興高采烈地在1900年的第二次國際數學家大會上宣布：“借助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈。今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了。”然而，好景不長，一個震驚數學界的消息傳出，集合論是有漏洞的！如果是這樣，則意味着數學大廈的基礎出現了漏洞，對數學界來說，這将是多麼可怕啊！

羅素構造了一個所有不屬于自身（即不包含自身作為元素）的集合R，現在問R是否屬于R？如果R屬于R，則R滿足R的定義，因此R不屬于自身，即R不屬于R。另一方面，如果R不屬于R，則R不滿足R的定義，因此R應屬于自身，即R屬于R，這樣，不論任何情況都存在矛盾，這就是有名的羅素悖論。

羅素悖論不僅動搖了整個數學大廈的基礎，也波及到了邏輯領域，德國的著名邏輯學家弗裡茲在他的關于集合的基礎理論完稿而即将付印時，收到了羅素關于這一悖論的信，他立刻發現，自己忙了很久得出的一系列結果卻被這條悖論攪得一團糟，他隻能在自己著作的末尾寫道：“一個科學家所碰到的最倒黴的事，莫過于是在他的工作即将完成時卻發現所幹的工作的基礎崩潰了。”這樣，羅素悖論就影響到了一向被認為極為嚴謹的兩門學科——數學和邏輯學。

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