在頭條上看到一個數學題(一家長輔導孩子做題，發到頭條上)：

題目：如圖所示，在△ABC中，∠A=30°，∠CDB=45°，點D是AC的中點，求∠C的度數？

這道題不是很難，但也不簡單，我下面給出三種解答：

方法一:如圖,過點C作CE⊥AB,垂足E在AB上,連接DE.因為∠A=30°,CE⊥AB,點D為AC中點, 易知△CDE為等邊三角形,所以∠CDE=∠DCE=60°, 因為∠BDC=45°, 所以∠BDE=60°-45°=15°,又 ∠ABD=∠BDC-∠BAC=45°-30°=15° =∠BDE, 所以△BDE是等腰三角形, 則CE=DE=BE, 則△BCE是等腰直角三角形, 有∠BCE=45°, 所以∠C=∠BCE ∠DCE=45 60°=105°.

方法二:如圖，過點B作BE垂直于AC延長線于E。因為BE⊥DE,∠BDE=45°,所以BE=DE.設CE=y,AD=CD=x.Rt△ABE中:

所以x=(√3 1)y ,則:

所以∠BCE=75°,所以∠C=180°-∠BCE=105°.

方法三(不做輔助線):如圖，設AD=CD=x,設∠CBD=α,∠ABC=θ.由題易知∠BDE=15°,所以θ=α 15°.△BCD中由正弦定理有:

△ABC中由正弦定理有:

兩式相除得: sinθ=√2sinα,所以sin(α 15°)=√2sinα,正弦和角公式展開可得cosα=√3sinα,所以tanα=√3/3,所以∠CBD=α=30°,所以∠C=180°-30°-45°=105°.

所以有很多方法可以正确解出答案。頭條上評論區一樓首先按方法一給出了正确答案，但是後面的評論可謂是群魔亂舞。因為一樓的答案是105°,巧合的是180°減去題中給的兩個角也等于105°,所以有一堆人說他做繁了(頗有事後諸葛亮的感覺):

感情是直接用内角和定理就搞定了啊，也不看45°是标在哪裡的，另外靈魂條件“D是AC的中點” 都沒用上啊，這是一廂情願把題讀成了自己想要的模樣。

還有一些人的錯誤顯得要高級些，不過邏輯有問題：

圖中有兩個三角形确實相似(△BCD∽△ACB, 站在上帝視角,在知道答案後能看出它們是相似的)。但他們卻說能用“兩邊夾一角”(兩邊對應成比例且夾角相等)判定出相似，确實兩三角形∠C是公共角，但由題目已知條件卻得不出兩邊對應成比例，已知條件除了兩個角就是一個中點條件，是判定不出這兩三角形相似的。真實情況就是在用其他方法得出∠ABC角度(45°)之前并不能證明相似，那相似并沒對最後求∠C角度起作用，這便是邏輯有問題。

更有甚者說直接用量角器：

這方法才是可怕的，做數學題隻要答案，不管數學思維了，典型的實用主義思想，這樣會在學數學的道路上徹底走偏。

還是一個評論一語道破：

我把上述案例提出來，并不是說這個題大家都應該要會做。我是在思考“數學帶給了我們什麼”，“數學題帶給了我們什麼”。數學的“美”體現在它的邏輯自洽上，體現在它的推理論證上，這種美我們是需要在學數學的過程中去體會的。當我們用正确方法成功解答出一道比較難的數學題時，我們往往會有成就感，這種成就感就是在“沐浴”數學的“邏輯美”。

數學的邏輯自洽我們怎麼感受？直觀的做法是做數學題時我們要“講道理”，至少我們要能自圓其說。我們做題每一步都要“有理可據”。比如上面第一種錯誤說直接用内角和定理，而題目條件中那個30°和45°根本不是同一個三角形的内角，所以這種方法自己就“不攻自破”(自己都無法往下解釋)了。

很多學生會說我又不夠聰明，我怎麼知道自己的“道理”是不是對的呢，我做錯是因為我以為是對的。這樣說的人，先問問自己“公式定理熟悉了嗎”，“解題的步驟是否違背了公式定理”，如果我們做題的每一步都有正确的依據，就不會給自己找上面的借口了。不會做題不等于要亂做題。若“今天”的你不會做題，不應該選擇亂做題，應該選擇“明天”正确做題。那今天做什麼?今天就把這個題正确解答所需要的公式、定理、方法先學會，用心下功夫去做，“明天”的你一定會“騰飛”。

學數學我們得做好總結。典型的數學題目值得我們深思回味，理解其中的邏輯路線，理解其中的方法滲透。若我們不能對同類型題目總結出普遍的方法套路，下次遇到這類題我們就會驚慌失措，還會對出題人罵罵咧咧，題目解不好還很心累。而且會陷入無盡的做題煩惱中，感覺每個題都是對自己的折磨，再強大的意志都被自己磨沒了，學習越來越消極，最終覺得自己不适合學數學。相反，若做好了總結，你會覺得每個題隻是已有方法的再次練習而已，你的心境會越來越好，并形成正反饋，用學習成果激勵自己不斷前行。

學數學我們也不能有實用主義的思想，不能隻以答案為導向(像上面的用量角器)，要知道在數學中思想高于方法，方法高于答案。這也是科學精神的體現，科學是注重邏輯推理論證的，它并不像哲學。哲學一來就要有一個終極的結果，像探索世界的本源一樣。數學中重要的是要理好邏輯鍊條的每一環，若步步都沒問題，那最後的結果自然是好的。實用主義能帶來技術，但不能帶來創造。像我國古代有發達的手工業，很多發明卻止于實用，并不推究背後的原理。例如杠杆原理早就得到了實用（舂米等）,卻沒有總結出原理。再比如，一個人發明了一個機器設備，這個設備安在窗戶上能自動感應，下雨了自動關閉窗戶，這很實用，但顯然這種發明不能獲得“諾貝爾獎”，它隻能獲得"我愛發明獎”。

“為什麼登山，因為山在那裡”這是出自英國著名登山家喬治.馬洛裡的一句話。

這句話也是數學中最可貴的品質的體現，缺乏為了科學而科學的精神，我們往往不能走向純粹的數學。很多人會說又不是人人都是數學家，學數學不需要都有這麼高的立意。誠然我們不能人人都成為數學家，但為真理而“較真”的品質是可以具有的。真理并不拒絕科學家之外的人追求她。我們需要在科學精神的框架下修煉自己感悟數學邏輯自洽的能力。這種能力往往體現在做數學題時的審題分析及找數量關系上。當然我們還得具有足夠的運算能力解出數量關系，題目才能順利解答。從數學思維的角度說，找數量關系是大于解數量關系的。即使我們不能成為數學家，但是把自己當數學家想的學生，成績一定差不了。

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