古希臘數學家、哲學家芝諾（Zeno）曾經提出不少的與運動有關的悖論，其中的“芝諾龜”被稱為物理學的“四大神獸”之一，到底是怎麼回事呢？我們先來了解一下。

芝諾

阿基利斯是一位古希臘神話中的人物，被稱為“特洛伊戰争”中最強、最勇敢的戰士，傳說他武力驚人，速度更是快如疾風。然而在芝諾提出的悖論中，這位傳奇人物居然永遠都追不上一隻慢吞吞的烏龜（即“芝諾龜”）。

這個悖論的設定是，1、阿基利斯比“芝諾龜”跑得快得多；2、當“芝諾龜”跑出一段距離後，阿基利斯才開始追。根據我們的常識來說，在這種設定下，阿基利斯必定會追上“芝諾龜”，但芝諾卻不這麼認為。

如上圖所示，假設“芝諾龜”跑到了B點後，阿基利斯才開始追，當阿基利斯追到B點時，“芝諾龜”又向前跑了一段距離，到達了更遠的C點（注意這時阿基利斯并沒有追上“芝諾龜”），同樣的，當阿基利斯追到C點時，“芝諾龜”又前進到了D點，當阿基利斯追到C點時，“芝諾龜”又前進到了E點……

就這樣，雖然阿基利斯和“芝諾龜”之間的距離在不斷地減小，但是因為“芝諾龜”在不斷地前進，所以在每次阿基利斯追到“芝諾龜”上一個落腳點的時候，“芝諾龜”所在的位置總是會在這個落腳點的前面一點，因此可以說，阿基利斯永遠都追不上“芝諾龜”。

如果你仔細做一下這個思想實驗，你就會發現“芝諾龜”是一個令人困惑的悖論，你明知它是錯的，但卻很難反駁。也許你會認為，隻需要随便做一個實驗，就可以反駁這個悖論，但顯而易見的是，芝諾本人肯定也是知道現場實驗結果的，而“芝諾龜”之所以被稱為悖論，正是因為理論上的結果和實驗的結果不一緻。

因此我們必須要在理論上來反駁“芝諾龜”才行，比如說利用量子理論就可以證明“芝諾龜”是錯誤的，量子理論認為，時間和空間并不是可以無限拆分的，它有一個極限值，即普朗克時間（10^-43 秒）以及普朗克長度（1.6 x 10^-35 米）。

我們可以據此得出，在阿基利斯和“芝諾龜”賽跑的過程中，當他們之間的距離達到了普朗克長度，或者阿基利斯跨越這個距離所用的時間達到了普朗克時間的時候，阿基利斯在下一個普朗克時間就會追上“芝諾龜”。除此之外，利用高等數學同樣也可以證明“芝諾龜”是錯誤的，這裡略過不提（主要是這玩意兒太燒腦）。

但芝諾所處的時代并沒有量子理論和高等數學，也就是說，我們似乎應該用更加簡單的方式來反駁“芝諾龜”，那麼應該怎麼來做呢？其實還是有辦法的，下面我們就來捋一捋。

先假設阿基利斯的速度為每秒鐘11米，“芝諾龜”的速度為每秒鐘1米（注：正常的烏龜是爬不出這個速度的，不過“芝諾龜”既然被稱為物理學的“四大神獸”之一，那麼它能爬出如此高速也可以算是正常的），然後再假設當阿基利斯開始追的時候，“芝諾龜”與他之間的距離是10米。

根據以上設定，我們通過一個簡單的公式 t = L/(v1 v2）就可以輕易地計算出，阿基利斯隻需要用1秒的時間就可以追上“芝諾龜”。但芝諾卻是這樣計算的：當阿基利斯跑到第一個點的時候，他用了10/11秒的時間，跑到第二個點的時候，他又用了10/11^2，也就是10/121秒的時間，跑到第三個點的時候，他又用了10/11^3，也就是10/1331秒的時間，其他的以此類推。

芝諾給我們表達了一個觀點，即阿基利斯需要在上述的每一個時間段裡，都會進行一個追上“芝諾龜”的步驟，因為時間在無限地分割，所以阿基利斯重複這個步驟的次數也是無限的，既然阿基利斯無限地重複這個步驟，那麼他就永遠都追不上“芝諾龜”。

問題就出在這個“永遠”上，所謂“永遠”是指無限長的時間。但假如你不斷地将上述的時間段加起來，就會發現不管怎麼加，它的值隻會無限地接近1，但絕對不會等于或者大于1（為什麼會這樣呢？這是因為在我們的直覺裡，通常都會覺得無限多的正數加起來，必定會是無限大）。

這就意味着，在阿基利斯追上“芝諾龜”之前，不管他重複了多少次這個步驟，他所用的時間都是小于1秒的（很顯然，這并不能稱之為“永遠”）。也就是說，這個悖論可以轉化為：在不到1秒的時間内，阿基利斯是永遠追不上“芝諾龜”的。

那麼現在我們就可以得出一個結論：這是一個理所當然的現象，根本就不能稱之為悖論。看到這裡，相信大家已經不再困惑了，這其實就是芝諾在這個悖論裡設置了一個巧妙的陷阱，在不知不覺中，我們就掉了進去。

好了，今天我們就先講到這裡，歡迎大家關注我們，我們下次再見`

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