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數學牛頓恒等式

生活更新时间:2024-07-09 04:11:57

牛頓在他1669年的手稿中，對反正弦函數的幂級數進行了推導：這被稱為“牛頓精湛的表演”。

數學牛頓恒等式（牛頓用幾何原理推導反正弦函數的無窮級數的方法）1

牛頓1669年手稿的一頁

理解牛頓推導的幾何原理都包含在下面的圖一中，首先這是一個函數

數學牛頓恒等式（牛頓用幾何原理推導反正弦函數的無窮級數的方法）2

圖一：四分之一單位圓方程

上述方程描述的是一個四分之一的單位圓的

弧αD等于z（圓的半徑為1），從圖一中我們得到：

數學牛頓恒等式（牛頓用幾何原理推導反正弦函數的無窮級數的方法）3

圖二：角z的正弦值等于橫坐标x

因此，我們的目标是确定x(作為z的幂級數)。

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圖三

三角形DGH和DBT相似。由于ABD和DBT三角形也相似，我們得到：

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為了方便起見，運用圖一中四分之一單位圓方程，該表達式變為：

數學牛頓恒等式（牛頓用幾何原理推導反正弦函數的無窮級數的方法）6

牛頓下一步是使用它發明的二項式定理将其展開，如下圖所示

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牛頓二項式定理

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現在求圖一中的反函數，得到z=z(x)= arcsinx，然後對上面的二項式展開進行積分得到

數學牛頓恒等式（牛頓用幾何原理推導反正弦函數的無窮級數的方法）9

需要注意的是，牛頓得到這個表達式所需要的積分就是他自己發明的微積分公式

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