想要設計控制系統，首先應該從分析控制系統的性能要求出發。

頻譜分析是設計和分析系統的一種常用手段，本篇文章将向大家介紹頻譜的概念，包括傅裡葉級數、傅裡葉積分、傅裡葉變換以及它們各自的物理意義。

在以後的推送中，将向大家介紹頻譜分析的數值方法，還将列舉幾個實際例子。

設一個周期為的周期函數，即滿足：若滿足狄利克雷(Dirichlet)條件，可用收斂的傅裡葉級數表示為

其中

寫為更為緊湊的複數形式的傅裡葉級數為

其中

為複數，一般寫成如下形式

由上式可知與作為互為共轭複數，根據歐拉公式，每組共轭複數可寫成

該式表明，複系數的幅值表示第k次諧波的幅值（幅值為），複系數的相角βk表示了該次諧波的相移。這種表示方法稱為複數正弦。

傅裡葉級數的物理意義：由上述可知，用傅裡葉級數表示函數f(t)，即視由各次諧波組成，傅裡葉級數的系數表示了各次諧波的幅值和相位，而這些系數的集合稱為頻譜。

Tips：

1.負頻率同樣具有意義，當諧波用複數形式表示時，負頻率表示了複數正弦的反向旋轉

2.諧波次數為整數，用諧波頻率同基波頻率之比給出，因此頻譜不是連續的，而是離散的，故這種頻譜有時也稱為線譜

3.頻譜可以有不同的形式，有時隻列出複系數的幅值

例如：繪制周期為T的方波序列的頻譜

将方波序列的表達式代入至ck的表達式中，若，，利用歐拉公式可得到，

通過代入計算，各次諧波的ck值如下表所示

MATLAB代碼如下：

clear，clc T = 2*pi; % 周期 omiga = 2*pi/T; sw = @(n,t) exp(-1i*n*omiga*t).*square(t); N=20; Cn = zeros(1,2*N 1); % 計算Cn for n=-N:N Cn(n N 1) = quad(@(t)sw(n,t),-T/2,T/2,1e-9)/T; end n = 0; c0 = quad(@(t)sw(n,t),-T/2,T/2,1e-9)/T; % 計算C0 stem((-N:N).*omiga,abs(Cn)); grid on title('幅值譜');xlabel('\omega');ylabel('|c_n|');

首先對傅裡葉積分與傅裡葉變換進行推導，推導完畢後将讨論傅裡葉積分的物理意義。 着急的同學也可以直接看結論哦~

實際上大多數函數是非周期函數，傅裡葉級數無法處理非周期函數，但是可以應用傅裡葉變換來處理。将周期函數的周期T看作無窮，即。

傅裡葉級數的表達式為

對于上式的第一項，當時，有如下考慮

因此，當f(t)為絕對可積函數，時，第一項趨于零。 設，相鄰諧波之間的頻率差，當時可以看作為。于是有

上式為關于ω的偶函數，所以可以寫為：

此時，再加入一個ω奇函數積分

綜上

即

上式即稱為傅裡葉積分，傅裡葉積分還可以寫成如下的形式：

式中

F(jω)稱為函數f(t)的傅裡葉變換。即說明了一個滿足滿足狄利克雷(Dirichlet)條件的非周期函數若是絕對可積的，就可以展開成傅裡葉積分

接下來讨論傅裡葉積分的物理意義

設，将f作為頻率的橫坐标，此時傅裡葉積分可以變為如下形式

假設是單位面積的窄脈沖，如下圖所示，

計算積分可得

該式表明：上面積為1的窄脈沖對應着幅值為1的複數正弦

進一步地，如果将分解為一系列的窄脈沖，每個脈沖的面積為F，那麼合成的時間函數f(t)就是這一系列複數正弦的和。

從數學公式的角度可以表示為

當時即為傅裡葉積分表達式

因此可以認為：傅裡葉積分就是在頻域上對信号進行分解，分解為一系列的窄脈沖，傅裡葉積分的實質就是将信号看作是由無窮多個諧波所組成。

對于周期函數，傅裡葉級數将周期函數分解為無窮多個諧波，而這些諧波的取值是離散的。對于非周期函數，傅裡葉積分，諧波之間的頻率差為無窮小，即頻譜是連續的。

舉個例子，如何用正弦波組成一個近似的方波，下面這張圖，讓你一次看懂！

圖片來源于wiki百科

注釋

1.狄利克雷(Dirichlet)條件：

（1）函數在任意有限區間内連續，或隻有有限個第一類間斷點 （2）在一個周期内，函數有有限個極大值或極小值。 （3）信号在單個周期内絕對可積

2.傅裡葉系數求取：對複數形式的傅裡葉級數兩邊同時乘e−j2πnTt，然後從−T/2到T/2積分即可

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