初中數學同步系列七年級下冊 第五章 相交線與平行線（知識點、重難點、易錯點、思維導圖）非常全面，值得收藏。關注我，更多電子版學習資料免費送

5.1 相交線

鄰補角與對頂角（重點）

兩直線相交所成的四個角中存在幾種不同關系的角，它們的概念及性質如下表：

易錯點：

(1)對頂角是成對出現的，對頂角是具有特殊位置關系的兩個角；

(2)如果∠α與∠β是對頂角，那麼一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那麼∠α與∠β不一定是對頂角；

(3)如果∠α與∠β互為鄰補角，則一定有∠α ∠β=180°；反之如果∠α ∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補角；

(4)兩直線相交形成的四個角中，每一個角的鄰補角有兩個，而對頂角隻有一個.

例：如圖，三條直線交于一點，任意找出圖中的四對對頂角．

錯解：如圖，對頂角為：(1)∠AOC與∠BOD；(2)∠AOF與∠BOD；(3)∠COF與∠DOE；(4)∠AOC與∠BOE．

錯解分析：錯解中把有公共頂點的角誤認為是對頂角，導緻(2)和(4)錯誤．如果對對頂角的概念沒有真正理解和掌握，在比較複雜的圖形識别中會産生錯誤．對頂角就是：一個角的兩邊分别是另一個角的兩邊的反向延長線 ．

正解：(1)∠AOC與∠BOD；(2)∠BOE與∠AOF；(3)∠COF與∠DOE；(4)∠COE與∠DOF．(答案不唯一：∠AOE與∠BOF，∠BOC與∠AOD也是對頂角)

1.定義：當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.

符号語言記作：

2.在同一平面内，過一點有且隻有一條直線與已知直線垂直.（重點）

3.連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.簡稱：垂線段最短.（重點）

4.點到直線的距離

直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.

三線八角圖（重點、難點）

如圖，判斷下列各對角的位置關系：

(1)∠1 與∠2；(2)∠1 與∠7；(3)∠1 與∠BAD；(4)∠2 與∠6；(5)∠5 與∠8.

解：我們将各對角從圖形中抽出來(或者說略去與有關角無關的線)，得到下列各圖.

如圖所示，不難看出∠1 與∠2 是同旁内角；∠1 與∠7 是同位角；∠1 與∠BAD是同旁内角；∠2 與∠6 是内錯角；∠5 與∠8 對頂角.

注意：圖中∠2 與∠9，它們是同位角嗎？

不是，∵∠2 與∠9 的各邊分别在四條不同直線上，不是兩直線被第三條直線所截而成.

5.2 平行線及其判定

1.平行線的概念：在同一平面内，不相交的兩條直線叫做平行線，直線a與直線b互相平行，記作a ∥b .

2.兩條直線的位置關系在同一平面内，兩條直線的位置關系隻有兩種：(1)相交；(2)平行.

因此當我們得知在同一平面内兩直線不相交時，就可以肯定它們平行；反過來也一樣(這裡，我們把重合的兩直線看成一條直線).

判斷同一平面内兩直線的位置關系時，可以根據它們的公共點的個數來确定：

①有且隻有一個公共點，兩直線相交；②無公共點，則兩直線平行；③兩個或兩個以上公共點，則兩直線重合(∵兩點确定一條直線)

3.平行公理――平行線的存在性與惟一性經過直線外一點，有且隻有一條直線與這條直線平行

4.平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那麼這兩條直線也互相平行.

注意符号語言書寫，前提條件是兩直線都平行于第三條直線，才會結論，這兩條直線都平行.

例：同一平面内，不相交的兩條線是平行線.

錯解：對．

錯解分析：平行線是同一平面内兩條直線的位置關系，不相交的兩條線，說的不明确．若是射線或線段有可能不相交.∴說法是錯誤的．

正解：同一平面内，不相交的兩條直線是平行線．

判定方法1 兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那麼這兩條直線平行

簡稱：同位角相等，兩直線平行

判定方法 2 兩條直線被第三條直線所截，如果内錯角相等，那麼這兩條直線平行

簡稱：内錯角相等，兩直線平行

判定方法 3 兩條直線被第三條直線所截，如果同旁内角互補，那麼這兩條直線平行

簡稱：同旁内角互補，兩直線平行

幾何符号語言：

∵∠3＝∠2

∴AB∥CD(同位角相等，兩直線平行)

∵ ∠1＝∠2

∴AB∥CD(内錯角相等，兩直線平行)

∵ ∠4＋∠2＝180°

∴AB∥CD(同旁内角互補，兩直線平行)

例1：判斷下列說法是否正确，如果不正确，請給予改正：

(1)不相交的兩條直線必定平行線.

(2)在同一平面内不相重合的兩條直線，如果它們不平行，那麼這兩條直線一定相交.

(3)過一點可以且隻可以畫一條直線與已知直線平行

解：(1)錯誤.平行線是在“同一平面内不相交的兩條直線”.“在同一平面内”是一項重要條件，不能遺漏.

(2)正确

(3)錯誤.正确的說法是“過直線外一點”而不是“過一點”.∵如果這一點不在已知直線上，是作不出這條直線的平行線的

例2：如圖，由條件∠2＝∠B，∠1＝∠D，∠3＋∠F＝180°，可以判定哪兩條直線平行，并說明判定的根據是什麼？

解：(1)由∠2＝∠B可判定AB∥DE，根據是同位角相等，兩直線平行；

(2)由∠1＝∠D可判定AC∥DF，根據是内錯角相等，兩直線平行；

(3)由∠3＋∠F＝180°可判定AC∥DF，根據同旁内角互補，兩直線平行.

5.3平行線的性質（重點）

性質1：兩直線平行，同位角相等；

性質2：兩直線平行，内錯角相等；

性質3：兩直線平行，同旁内角互補.

幾何符号語言：

∵AB∥CD

∴∠1＝∠2(兩直線平行，内錯角相等)

∵AB∥CD

∴∠3＝∠2(兩直線平行，同位角相等)

∵AB∥CD

∴∠4＋∠2＝180°(兩直線平行，同旁内角互補)

例1：已知∠1＝∠B，求證：∠2＝∠C

證明：∵∠1＝∠B(已知)

∴DE∥BC(同位角相等，兩直線平行)

∴∠2＝∠C(兩直線平行，同位角相等)

例2：如圖，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65°求∠2、∠3的度數.

解：∵DE∥BC∴∠2＝∠1＝65°(兩直線平行，内錯角相等)

∵AB∥DF∴∠3＋∠2＝180°(兩直線平行，同旁内角互補)

∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°

例3：如圖，直線AB，CD分别和直線MN相交于點E，F，EG平分∠BEN，FH平分∠DFN．若AB∥CD，你能說明EG和FH也平行嗎?

錯解：∵EG平分∠BEN，∴∠BEG=12∠BEN．

同理，∵FH平分∠DFN，∴∠DFH=12∠DFN．又∵AB∥CD，∴∠BEN=∠DFN；從而∠BEG=∠DFH．∴EG∥FH．

錯解分析：在複雜的圖形中正确地找出同位角、内錯角或同旁内角，是運用平行線的判定或性質的前提.認清一對同位角、内錯角或同旁内角的關鍵是弄清截線和被截線，截線就是它們的公共邊，其餘兩條邊就是被截線．而 ∠BEG 和∠DFH 不是直線 EG，FH 被某條直線所截得的同位角， ∴由 ∠BEG=∠DFH 不能判定EG∥FH．

正解：∵EG平分∠BEN，∴∠BEG=∠GEN=12∠BEN，

同理，∵FH平分∠DFN，∴∠DFH=∠HFN=12∠DFN，

又∵AB∥CD，∴∠BEN=∠DFN，從而∠GEN=∠HFN．

而∠GEN，∠HFN是直線EG，FH被直線MN所截得的同位角，∴EG∥FH．

例4：如圖，△ABC中，已知∠1 ∠2=180°，∠3=∠B， 試判斷DE與BC的位置關系，并說明理由．

錯解：∵∠1 ∠2=180°，∴EF∥AB．

∴∠3 ∠BDE=180°．

∵∠3=∠B，∴∠B ∠BDE=180°．

∴DE∥BC．

錯解分析：由∠1＋∠2=180°，不能得到EF∥AB．雖然∠1和∠2是由直線EF和AB被直線DC所截得的角，但由于它們不是同旁内角，∴盡管∠1＋∠2=180°， 也不能得到EF∥AB．

正解：∵∠1=∠4，∠1＋∠2=180°，∴∠2 ∠4=180°．

∴EF∥DB(同旁内角互補，兩直線平行)．

∴∠3 ∠BDE=180°(兩直線平行， 同旁内角互補)．

∵∠3=∠B，∴∠B ∠BDE=180°．

∴DE∥BC(同旁内角互補，兩直線平行)．

1.命題的概念：判斷一件事情的語句，叫做命題.

2.命題的組成每個命題都是題設、結論兩部分組成.題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項.

3.如果題設成立，那麼結論一定成立，這樣的命題叫真命題.如果題設成立，不能保證結論一定成立，這樣的命題叫做假命題.

4.經過推理證實而得到的真命題叫做定理.

5.在很多情況下，一個命題的正确性需要經過推理才能作出判斷，這個推理過程叫做證明.

5.4平移

1.平移變換

①把一個圖形整體沿某一方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同.

②新圖形的每一點，都是由原圖形中的某一點移動後得到的，這兩個點是對應點③連接各組對應點的線段平行且相等

2.平移的特征：

①經過平移之後的圖形與原來的圖形的對應線段平行(或在同一直線上)且相等，對應角相等，圖形的形狀與大小都沒有發生變化.

②經過平移後，對應點所連的線段平行(或在同一直線上)且相等.

例：如圖，△ABC經過平移之後成為△DEF，那麼：

(1)點A的對應點是點＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

(2)點B的對應點是點＿＿＿＿＿＿.

(3)點＿＿＿＿＿的對應點是點F；

(4)線段AB的對應線段是線段＿＿＿＿＿＿＿；

(5)線段BC的對應線段是線段＿＿＿＿＿＿＿；

(6)∠A的對應角是＿＿＿＿＿＿.

(7)＿＿＿＿的對應角是∠F.

解：(1)D；(2)E；(3)C；(4)DE；(5)EF；(6)∠D；(7)∠ACB.

本章思維導圖

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