這是一道三年級同學的家長發來求助的題目：

某次數學競賽原定一等獎10人，二等獎20人，現在将一等獎最後4人調整為二等獎，這樣得二等獎學生的平均分提高了1分，得一等獎的學生的平均分提高了2分，那麼原來一等獎平均分比二等獎平均分多多少分？

看到題目，我也是倒吸一口冷氣。現在小學三年級的奧數題就難成這樣了？記得我上三年級的時候，這種題目的，見都沒見過。

家長也表示，小孩被這道題虐慘了，老師講的解法就是理解不了，甚至有點傷到學數學的興趣了。

講題目之前，我們先來講講平均數的一個有意思的性質。所以平均，就是“損有餘而補不足”，用浙江的土話來講，叫“扯扯平”。所以：

比平均數多的一定等于比平均數少的

舉個例子。

比如，有四個數11、12、14、15。它們的平均數等于13。比13大的數有14、15，分别比13大1和2，一共大3；比13小的數是11、12，分别是13小2和1，一共小3。大的等于小的。

這個例子，數學課本上用圖畫表示了出來（人教版四年級下冊第91頁）。

可惜的是，課本上沒有再進一步，詳細講講。

這個性質什麼用呢？我們看道例題：

小強在期末考試時，數學成績公布以前，語文、英語的平均成績是93分，數學成績公布以後，他的平均成績又提高了2分，小強數學考了多少分？

語文、英語的平均成績比三科平均少了2分，相當于語文、英語各少了2分，一共少了4分。這4分，一定是數學補給它們的。

注意，數學多的這4分，是比三科平均數多的，這樣才有多餘的補給其他兩科啊。三科的平均成績是93 2=95，所以數學得分95 4=99。

有的同學也許覺得，我可以算出三科的總分，再減去語文、英語的總分，不就一樣可以算出答案嗎？

那麼再來看下面這題：

小強隻知道自己期末考試語文、英語的平均成績，數學成績公布以後，他的平均成績又提高了2分，小強數學成績比其他兩科的平均成績高了多少分？

這樣的題目，就不能用總分來算了，隻能用上面的方法，算得數學成績比其他兩科的平均分高了6分。

這種方法，可以擺脫平均數的絕對數值，隻用知道各個數和平均數的相對關系。小學奧數裡95%關于平均數的難題，都可以用這樣的方法來做。

我們再用兩道題目來熟悉下：

有兩組數，第一組數有6個，第二組數有4個，第一組的平均數比兩組合并後的平均數大2，那麼兩組合并後的平均數比第二組的平均數大多少？

第一組平均數比合并後大2，總共多了2×6=12，也就是第二組少了12，平均每個數比合并後的平均數小了12÷4=3。

有兩組數，第一組數有4個，第二組數有20個，第二組的平均數比兩組合并後的平均數小1，那麼第一組的平均數比第二組的平均數大多少？

第二組平均數要比合并後小1，總共少了1×20=20，也就是第一組多了20，平均每個數大了20÷4=5。那麼第一組平均數比第二組平均數高了5 1=6

現在我們把兩道題合并起來：

有三組數，第一組數有6個，第二組數有4個，第三組有20個。如果把第一組和第二組合并，第一組的平均數比兩組合并後的平均數大2。如果把第二組和第三組合并，第三組的平均數比兩組合并後的平均數小1。問：第一、二組合并後的平均數比第三組大多少？

你們仔細看，這道題目，和最上面那道一等獎二等獎的題目，不是一樣的麼。答案就是3 6=9分。

當然，數學競賽中的真題，比這道題可能還要難上一些。常見的做法，是不告訴你具體的數量，隻告訴你數量的比例，比如3：2，這樣的難度又要大一些。

比如這道，09年希望杯決賽的壓軸大題，大家可以試一下：

将和為45的9個數分成A和B兩組，如果将A組中的數4移到B組中，則A和B兩組數的平均數都比原來大0.25.求A組中原來有多少個數。

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