作者 | 孫志躍
一元二次方程求根公式是初中數學中的重要公式，現行義務教育初中數學教材都是采用配方法來推導一元二次方程的求根公式。本文從一元三次方程和一元四次方程求根公式的推導方法中受到啟發，反過來将其應用于一元二次方程，得到了另外兩種推導一元二次方程求根公式的方法，其中換元法似乎比配方法還要來得簡單和易理解。下面我就來給大家介紹一下這兩種新的方法，作為配方法的補充，供大家參考使用。
1 換元法
對于一般形式的一元二次方程：
因為，我們令
則
當時，有：
從而得到一元二次方程的求根公式：
通過換元（令），我們發現的一次項消失了，從而将一般形式的一元二次方程轉化為了（其中）的形式。這種轉換叫做契爾恩豪森轉換。
契爾恩豪森是德國的代數學家，對于一般的首1的n次多項式方程
通過契爾恩豪森的變量代換，再使用二項式定理展開就可消去項，從而得到首1的n次簡化方程。
2 根與系數法
說到根與系數的關系，大家馬上就會想到韋達，沒錯，根與系數的關系也被稱為韋達定理。韋達定理是說：如果方程有兩個實數根，那麼。
在北師大版九年級上冊數學教材中，是先有求根公式，然後推出根與系數的關系。事實上，我們可以先用其他方法導出根與系數的關系，然後再用根與系數的關系反推出求根公式。這個方法是由法國數學家範德蒙發現的。設一元二次方程的兩個根為，那麼
将右邊展開得
從而
比較兩邊系數得：
即
你看，我們沒用求根公式就導出了根與系數的關系。下面再來看看是如何用它來導出一元二次方程求根公式的。
由于
而
如果，那麼
代入（*）式即得求根公式
範德蒙對方程解的洞悉在于把方程的每一個根用方程的所有根表出，使之成為根的一個對稱表達式，而這個對稱表達式則可以利用韋達定理用方程的系數表示，從而得到求根公式。利用這個思想可以導出了三次方程和四次方程的求根公式，不過過程要複雜得多。
參考文獻
[1]結城浩. 數學女孩5：伽羅瓦理論. 陳冠貴，譯. 北京：人民郵電出版社，2021.
[2]馮承天. 從一元一次方程到伽羅瓦理論（第二版）. 上海：華東師範大學出版社，2019.
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