我們今天來一起讨論一下圓周運動的物理過程，嘗試建立勻速圓周運動的函數，并從中體會科學研究的基本過程。

對于一個物體來說，比如一個小球（可以抽象成一個質點）在不受任何外力的情況下，它會保持靜止或者勻速直線運動狀态。如果有外力作用在這個球上，小球的速度将發生改變，如果外力的方向與小球的運動方向平行，小球将加速或者減速，這就是我們前面一起讨論的直線運動。如果小球受到的力是一直垂直于運動方向的力，那麼小球運動的軌迹将會是一個圓形，這就是我們今天要探讨的圓周運動。

圖1 地球和金星繞日圓周運動

圓周運動中，小球受到的外力的方向一直都與小球的運動方向垂直，并且是指向圓心的。我們稱這個力為向心力。圓周運動在我們的宇宙和自然界中是非常普遍的，身邊随處可見，比如，太陽系内的行星繞太陽的公轉、衛星繞行星公轉的運動都是圓周運動，萬有引力提供了這種天體運動的向心力。我們生活中的車輪、遊樂場裡的摩天輪、農村的水車、磨盤實在是太多圓周的例子了。

那麼小夥伴們一定會好奇，究竟是哪些參數會影響到這些圓周運動中的力呢？

對于一個給定的做圓周運動的物體來說，如果速度不同，那麼力也會不同。如果我們改變這個物體的運動半徑，那麼它所受到的外力也會改變。現在一起來研究一下這個力，我們當然可以花幾個小時，嘗試推導一下圓周運動的方程。但是相比之下，更好的方法就是選擇做實驗或者是去生活中觀察。

圖2 遊樂場飛天轉椅

咱們一起來到遊樂場，一起觀察一下飛天轉椅的運動情況（見圖2）。我們會發現，随着轉椅的慢慢啟動，速度的增加，轉椅的傾角越來越大，不管椅子上有沒有坐人，隻要速度是一樣的，椅子的傾角都一樣。這說明，重力與向心力的比值是相同的。換句話說，向心力與球的質量成比例，同時，速度越大偏移量越大，因此更快的速度就需要更大的力。

我們再觀察一下其他的情況，看看摩托車場地追逐塞場上的情況。通過觀察我們可以發現，在選手之間車速相同的情況下，彎道内側的選手車身的傾角更大，這意味着，在彎道内側（轉彎半徑小）的選手需要更大的向心力。這就是說，半徑越小，向心力越大。這裡我們就不做推導，直接給出向心力的公式：F=mv^2/r。（見圖3）

圖3 摩托車場地競速轉彎場景

質點作圓周運動時，如果在任意相等的時間内通過的弧長相等，即在任意時刻質點的速率都相等，這種運動稱為勻速率圓周運動，簡稱為勻速圓周運動。

現在我們拿來一個半徑為R的圓盤（圖4），讓它繞着圓盤的中心O點轉動，圓盤上半徑為r的質點在相同的時間間隔Δt内轉過的弧長Δs都相等；圓盤上不同半徑的質點在相同的時間間隔Δt内轉過的弧長Δs都不等。所以半徑相同的質點的速率相等，而半徑不同的質點速率不同，但它們在相同的時間間隔Δt内轉過的圓心角Δθ是相等的，所以我們有Δθ/Δt=常數。當Δt為無限小的時候，Δθ/Δt=常數。這個值在物理學上被稱為角速度，用希臘字母ω來表示。

圖4 勻速圓周運動的圓盤

ω的大小表示每秒轉過的角度，單位是弧度每秒，以rad/s表示。不過日常生活中常說的轉速n，通常都是指每分鐘轉多少圈(r/min)，它與角速度ω的換算關系是：ω(rad/s)= 2πn/60(r/min)。由圓弧Δs與圓心角Δθ的關系Δs=rΔθ，可得速率與角速度的關系為：v=ωr。轉盤上每點角速度相同，質點到圓心的距離越大速率越大。

質點在作勻速圓周運動時，雖然速度的大小不變，但速度的方向時刻都在變化，所以勻速圓周運動是變速運動，也有加速度，這種由方向變化引起的加速度稱為向心加速度或法向加速度，其大小為：a=v^2/r=ωr^2。

【思維拓展】如果質點的角速度ω也是随時間變化、為描寫質點的非勻速率圓周運動，我們應該再引入一個怎樣的物理量呢？

圖5 過山車經過圓周運動的定點

現在，我們一起來總結一下前面探讨圓周運動的過程究竟是适用了哪些科學研究的方法：

首先，我們一起觀察了客觀存在的現象。

在圓周運動裡，我們找到的是遊樂場的空中轉椅和摩托車場地競速。然後找到了，産生這種現象的相關因素：速度、圓周半徑、質量。通過觀察，找到了這些量之間的關系。在科學研究中，最重要的就是首先要有可以客觀存在，可觀察的現象。客觀存在，是科學研究的對象，那些不能客觀存在的東西，是不能成為科學研究的話題的。比如上帝到底是否存在這樣的話題是永遠都不會成為科學研究的對象的。

圖6 做圓周運動的水車

其次，我們根據觀察到的現象使用了邏輯推理。

觀察完現象之後，我們采用了邏輯推理的方式，對現象進行了歸納總結。在本文中，我們根據現象推測出來向心力的公式F=mv^2/r。歸納總結邏輯推理是科學中的重要手段。

再次，我們采用了數學方法對整個運動過程進行了描述。

科學研究的一個重要過程就是要建立定量分析。在圓周運動過程的探讨中，我們通過觀察現象，和邏輯分析，并且最後利用數學工具對最簡單的勻速圓周運動進行了數學描述。有了數學描述，我們就可以知道任意時刻，做圓周運動的質點的運動狀态做出定量分析。

這也可以說是給圓周運動的具體狀态給出了可以測量的預言。這就是我們說的，科學驗證的方法。如果在今後的實驗當中，我們的測量值，跟我們的理論計算值出現了明顯的偏差，我們就需要重新去看自己的圓周運動理論是不是有問題。天王星的發現，正是因為理論計算值和觀測值不符合才做出的理論預言，這是科學驗證方法的最真實的案例。

圖7 火車彎道前進受力分析示意圖

本文從圓周運動的探讨入手，詳細介紹了科學研究的幾個重要步驟：觀察測量、邏輯分析、數學描述、理論預言、實驗驗證的全過程。《喵小咪物理日記》雖然隻是一本寫給中學生看的物理入門系列文章，但是老郭将在後面的文字裡不斷強調科學研究的過程，提高全民科學素質，就從最基礎開始。知識點固然重要，但是科學素質更重要。

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