組合數一般記為或,表示從n個球中取出k個球的取法。例如：

（1）,表示從4個球中取出2個球，一共有6種不同的取法。

（2）,表示從5個球中取出3個球，一共有10種不同的取法。

顯然，從n個球中取出k個球，那n和k必須都是自然數，且k≤n。

組合數很容易計算。我們可以按照如下思路進行：

對于任意的n：

（1）當k = 0，也就是從中取出0個球，那自然隻有一種取法，也就是一個球也不取，故；

（2）當k = 1，也就是從中取出1個球，那可以取到每一個球，自然就有n種取法，故；

（3）當k = 2，也就是從中取出2個球，可以先取第一個球，有n種取法，再從剩下(n-1)個球種取第二個球，有(n-1)種取法。由于先取甲再取乙和先取乙再取甲是同一種取法，但被計算了兩次，因此最後還需除以2，故；

...

從中可以歸納出組合數的一般計算公式：

數學的發展有一個很常見的套路：如何将一個已有的理論或公式進行推廣，使之适用于更一般的情形？

例如，我們的祖先在計數、捕獵、物品交換等日常活動中抽象出了自然數、加法、減法等概念，從加法中發展出乘法的概念，乘法進一步産生幂次的概念，而幂次從正整數一步步推廣到負整數、分數、實數和任意複數，這無不體現着人類數學的發展和認識的進步。

考慮到幂次的推廣過程，我們不禁要問，當n和k不是自然數，而是分數、無理數甚至超越數時，組合數如何計算呢？

這并非一時心血來潮的臆想，在數學分析中會很自然地遇到上述問題。

前面的文章《楊輝三角、伯努利數和矩陣》提到過，組合數又叫二項式系數，對于（1 x)^n,我們有如下展開式：

上面的公式當n為自然數時成立。x^k前的系數是組合數，又與函數（1 x)^n在x=0處的導數有關。

當n不是自然數時，我們仍想将一個幂函數寫成多項式函數的形式，那就可以借助于Maclaurin級數或Taylor級數了。

例如n = 1/2, 對于f(x) = (1 x)^(1/2)，那麼

将這個展開式與n為自然數時（1 x)^n的展開式做對比，我們立得

也就是說，當n不是自然數時，我們可以通過計算函數（1 x)^n在x=0處的k次導數，來計算組合數。

事實上，新的通過導數計算組合數的方法，與最開始的計算方法是相容的：

對于函數（1 x)^n，根據幂函數的求導法則，很容易計算其在x=0處的k次導數

所以無論n是不是自然數時，都有

根據以上公式，我們可以計算：

這樣，我們就把組合數中的n，從自然數推廣到了任意數。包括複數。

這其實沒什麼稀奇。很多人學到Taylor級數時都會自然而然地得到以上結論。

接下來，我們繼續将組合數中的k，也從自然數推廣到任意複數。

前面我們得到，當k是自然數時，無論n是不是自然數，我們都有如下組合數公式

現在希望将k從自然數推廣到任意數。根據上面的公式，一個最自然的想法就是通過Gamma函數：

上述公式是歐拉對階乘函數的推廣，當s>0時積分收斂。通過解析延拓的方法，Gamma函數的定義域可擴展至除0，-1，-2，-3，...等非正整數以外的整個複平面上。也就是說，Gamma函數是一個具有s=0,-1,-2,-3,...等極點的亞純函數。

回到組合數，一個自然的推廣就是将分母中的k階乘用Gamma函數代替，即

但問題又來了：

分母用Gamma函數代替沒問題，但分子上面是n(n-1)(n-2)...(n-k 1)，一共是k項，當k不再是自然數時，這個積怎麼定義呢？比如k=2.5, 那麼n(n-1)(n-2)...最後一項就應該是(n-2.5 1)，可是我們按照n(n-1)(n-2)的順序，接下來是(n-3)(n-4)...怎麼都不會有(n-2.5 1)！

還需要用到Gamma函數。

回到最初的計算式，

右側的表達式全部是階乘形式，那麼自然，都可以用Gamma函數代替，于是

為了表明n和k已經不再局限于自然數，我們分别用w和z替代n和k，有如下組合數公式：

上述公式還可以進一步美化：

Gamma函數是複平面上的亞純函數，在0,-1,-2,-3,...等極點處Gamma函數發散。而Gamma函數的倒數在整個複平面解析。我們有其倒數的無窮乘積展式

于是

代入原組合數公式，經過一點并不複雜的化簡，我們得到

根據以上公式，可作出組合數的圖像。為了便于可視化，僅在實數範圍内繪圖。

考慮到在w = -1,-2,-3,...處組合數發散，這裡分區間繪制，以z為橫坐标，w為縱坐标。

對于-0.9 <w<5，圖像如下

-0.9 <w<5，等高線（上）和三維圖（下）

對于-1.9 <w<-1.1，圖像如下

-1.9 <w<-1.1，等高線（上）和三維圖（下）

下面是一些w取定後，組合數關于z的函數圖像：

可以看到，組合數的圖像具有明顯的波動性。

而波動性，正是三角函數的特性。

兩者必有聯系。

我們先來看一個很有名的公式：Wallis乘積

寫成無窮乘積，也就是

結合組合數公式，我們隻要令w = 0, z = 1/2, 立得

即

組合數竟然可以得到圓周率！這并非偶然。

組合數與三角函數之間确實有很深的聯系。

根據組合數公式，如果令w = 0,有

另一方面，

于是

這樣就将三角函數與組合數聯系起來了！

如果令z = 1/2，我們立得Wallis乘積。

可以說，三角函數，不過是組合數的一種特殊情形罷了。

之前的文章《一道網友原創的無窮乘積等式》中，有過這樣一個等式

有了組合數公式，我們也可以很容易證明以上等式。

将左側寫成無窮乘積形式，也就是

為了套用組合數公式，将組合數公式改寫為

比較一下，很顯然，隻要令w = -3/4, z = -1/4，立得

從而

輕松秒殺。

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