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微積分求導數的作用

圖文更新时间:2025-02-06 03:04:44

兒子現在上高中物理競賽，需要補充些微分的知識，我把孩子問到的問題講解後用形象的語言整理了一下，恰好近期在整理初高中銜接知識點

導數：曲線某點的導數就是該點切線的斜率，在物理學裡體現了是瞬時速度，二階導數則是加速度。這個是由牛頓提出并研究的方向。

微分：也就是把函數分成無限小的部分，當曲線無限的被縮小後,可以近似當作直線對待,微分也就能表示為導數與dx的乘積。這個是萊布尼茲提出并研究的方向。

其實導數和微分本質上說并無區别，隻是研究方向上的差異。

積分：定積分就是求曲線與x軸所夾的面積；不定積分就是該面積滿足的方程式 ,因此後者是求定積分的一種手段,本質上來說,不定積分就是變限的定積分。

換一個角度來說：

導數y'是函數在某一點的變化率,微分是改變量,導數是函數微分與自變量微分之商,即y'=dy/dx,所以導數與微分的理論和方法統稱為微分學（已知函數,求導數或微分）.積分則是微分學的逆問題。

極限是微分、導數、不定積分、定積分的基礎,最初微積分由牛頓、萊布尼茨發現的時候,沒有嚴格的定義,後來法國數學家柯西運用極限,使微積分有了嚴格的數學基礎.極限是導數的基礎,導數是極限的化簡.微分是導數的變形。

微積分求導數的作用（導數微分積分之間的區别與聯系）1

微積分求導數的作用（導數微分積分之間的區别與聯系）2

微積分求導數的作用（導數微分積分之間的區别與聯系）3

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微積分求導數的作用（導數微分積分之間的區别與聯系）8

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