這是一道高考數學真題，與抛物線、圓與及圓的切線有關，題目還是比較燒腦的，既需要解題技巧，也要有挑戰複雜運算的精神。題目是這樣的：

抛物線C的頂點為坐标原點O，焦點在x軸上，直線l: x=1交C于P, Q兩點，且OP垂直于OQ，已知點M(2,0)，且圓M與l相切.

(1)求C，圓M的方程；【第一小題都是送分題】

(2)設A1，A2，A3是C上的三個點，直線A1A2，A1A3均與圓M相切。判斷直線Ａ2A3與圓M的位置關系，并說明理由。

解：(1)【有圖有真相，可以畫出草圖，幫助理解】

依題意，圓M的半徑：r=2-1=1，圓M的方程為：(x-2)^2 y^2=1.

可設抛物線C的方程為：y^2=2px, 不妨設P(1, 根号(2p)), Q(1, -根号(2p)), 則

PQ=2根号(2p)=2，解得p=1/2, 所以抛物線的方程C為：y^2=x.

(2)【可以猜想，直線A2A3與圓M相切的，然後往相切去證明，結果不成立，則必有距離之間的大小關系，再判斷其它位置關系。】

設A1(y1^2,y1), A2(y2^2,y2), A2(y3^2,y3), 則 直線的解析式分别為：

x/(y1 y2)-y y1y2/(y1 y2)=0, x/(y1 y3)-y y1y3/(y1 y3)=0, x/(y2 y3)-y y2y3/(y2 y3)=0.

【看到這麼複雜的三個解析式，可能很多人就開始敲退堂鼓了。不過千萬不要放棄，繼續解下去，會有意外的驚喜的。判斷直線與圓的位置關系，無非判斷圓心到直線的距離與半徑的關系。首先由已知的相切關系，可知，】

點M到Ａ１Ａ２，以及A１A3的距離分别為：

|2 y1y2|/根号(1 (y1 y2)^2)=1, |2 y1y3|/根号(1 (y1 y3)^2)=1, 【對它們進行化簡，兩邊乘以分母後，再兩邊同時平方，去掉根号和絕對值符号】

化得：(y1^2-1)y2^2 2y1y2 3-y1^2=0, (y1^2-1)y3^2 2y1y3 3-y1^2=0,

【兩個等式非常相似，如果用y表示一式中的y2，和二式中的y3，就可以發現y2,y3是關于y的二次方程的兩個根。這一步非常巧妙。】

即(y1^2-1)y^2 2y1y 3-y1^2=0有兩個根y2和y3,

點M到A2A3的距離為：

|2 y2y3|/根号(1 (y2 y3)^2)=|2 (3-y12)/(y1^2-1)|/根号(1 (2y1/(y1^-1))^2)=1

所以A2A3也與圓M相切。

通過複雜運算，得到簡單的結果，能不能給你帶來一種解壓的感覺呢？

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